2013年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，复数对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合A={x|x²-2x-3＜0，x∈R}，集合B=（-2，2），则A∩B为（ ）
A．（-1，2）
B．（-2，-1）
C．（-2，3）
D．（-2，2）

3. 难度：中等

下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的偶函数是（ ）
A．y=cos
B．y=x³
C．y=
D．y=e^x+e^-x

4. 难度：中等

下列命题中假命题是（ ）
A．∀x＞0，有ln²x+lnx+1＞0
B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ
C．“a²＜b²”是“a＜b”的必要不充分条件
D．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

7. 难度：中等

把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x²+的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

9. 难度：中等

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．（x-2）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y-3）²=1
D．

10. 难度：中等

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）
A．（-，-2]
B．[-1，0]
C．（-∞，-2]
D．（-，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=    ．

12. 难度：中等

在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x	9	905	M	10.5	11
销售量y	11	N	8	6	5

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n=    ．

13. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y-3的最小值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA=30°，则BP=    cm．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角C
（2）若向量与共线，且c=3，求a、b的值．

17. 难度：中等

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽以100名学生的笔试成绩，按成绩分组，依次为第一组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185），统计后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮大幅度，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官面试的概率？

18. 难度：中等

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF⊥平面PDC；
（2）求三棱锥B-PEC的体积；
（3）求证：AF∥平面PEC．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=+，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．

20. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．