2013年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，复数等于（ ）
A．1+i
B．-1-i
C．1-i
D．-1+i

2. 难度：中等

不等式|2x-1|-x＜1的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|l＜x＜2}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|l＜x＜3}

3. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（ ）
A．-3
B．0
C．1
D．3

4. 难度：中等

在的二项展开式中，x²的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列有关命题说法正确的是（ ）
A．命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=”，则¬p是真命题
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0“的否定是：“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．“a＞l”是“y=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件

6. 难度：中等

设函数f（x）=x³+x²+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[，]
C．[，2]
D．[，2]

7. 难度：中等

己知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=a₁x与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则S_n=（ ）
A．n²
B．-n²
C．2n-n²
D．n²-2n

8. 难度：中等

执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）

A．120
B．720
C．1440
D．5040

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）存在极值，则k的取值集合是（ ）
A．{2，4，6，8，…}
B．{0，2，4，6，8，…}
C．{l，3，5，7，…}
D．N^*

10. 难度：中等

若cos（2x）=，则sin（x+）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x²-y²=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=4
B．y²=8
C．x²=4y
D．x²=8y

12. 难度：中等

已知f（x）=x²+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

由曲线f（x）=x²-1和直线y=0所围成的封闭图形的面积为    ．

14. 难度：中等

某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为    ．

15. 难度：中等

如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 （单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为    cm²．

16. 难度：中等

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x-1-3，则不等式f（x）＞1的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量=（2sinB，），，且⊥，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，a_n+1是函数f（x）=x³+的极小值点．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n²，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

19. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为AD中点．
（Ⅰ） 证明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

20. 难度：中等

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=，其中n=a+b+c+d）

21. 难度：中等

已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△OAC的面积为15，求这个椭圆的方程．

22. 难度：中等

己知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式1nx＜kx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数k的取值范围；
（3）是否存在正实数m、n（m＜n），使mⁿ=n^m？若不存在，请说明理由；若存在，求m的取值范围．