2013年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i是虚数单位，则复数等于（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

2. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果S的值为（ ）

A．
B．
C．1
D．0

3. 难度：中等

已知条件p：x＜1，条件，q：＜1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数在区间（2，3）内的零点个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

5. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），|φ|＜π）的部分图象如图所示，则它的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数则满足|f（x）|＜2的x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪[0，3）
B．（-∞，-1]∪[0，3]
C．（-∞，-1）（0，3）
D．（-∞，3）

7. 难度：中等

如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．6

8. 难度：中等

若直线x+y-m=0与曲线有公共点，则m所的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设集合M={x∈R||x-1|≤4}，则M∩N^*为    ．

10. 难度：中等

设变量满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是    ．

11. 难度：中等

己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

12. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线上，且PF₂⊥x轴，则F₂到直线PF₁的距离为    ．

13. 难度：中等

如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，AF∥BD交CD于点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BD的长为    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=f（x-1）．且x∈[-1，1]时，f（x）=x²．则y=f（x）与y=log₅x的图象的交点个数为    个．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，．
（I）求cos C；
（II）设，求AC和AB．

16. 难度：中等

某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活动，其中每个人被选中的可能性均相等．
（I）列出所有可能的选取结果；
（II）求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率；
（Ⅲ）求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．

17. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，点D为A₁C₁的中点．
（I）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（II）求证：A₁C⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

18. 难度：中等

设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，且数列{b_n}的前n项和T_n，证明：．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

20. 难度：中等

已知点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=．三角形ABC的面积为，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当时，求△MNO面积．