《推理与证明》2013年广东省广州大学附中高考数学二轮复习检测（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

我们常用以下方法求形如y=f（x）^g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到：y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x）]，运用此方法求得函数y=的一个单调递增区间是（ ）
A．（e，4）
B．（3，6）
C．（0，e）
D．（2，3）

2. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

3. 难度：中等

给出下面四个类比结论
①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；
②实数a，b，有（a+b）²=a²+2ab+b²；类比向量，，有（+）²=²+2•+²；
③向量，有||²=²；类比复数z，有|z|²=z²；
④实数a，b有a²+b²=0，则a=b=0；类比复数z₁，z₂有z₁²+z₂²=0，z₁=z₂=0．
其中类比结论正确的命题个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2，4}，{6，8，10，12}，{14，16，18，20，22，24}，…则2120位于第（ ）组．
A．33
B．32
C．31
D．30

5. 难度：中等

下列不等式不成立的是（ ）
A．a²+b²+c²≥ab+bc+ca
B． （a＞0，b＞0）
C．  （a≥3）
D．

6. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=x³-x²+3x-+，则的值是（ ）
A．2010
B．2011
C．2012
D．2013

7. 难度：中等

对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于各面正三角形的什么位置（ ）
A．各正三角形的中心
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形内一点
D．各正三角形外的某点

8. 难度：中等

用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（ ）
A．a，b，c中至多一个是偶数
B．a，b，c中至少一个是奇数
C．a，b，c中全是奇数
D．a，b，c中恰有一个偶数

9. 难度：中等

用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应假设（ ）
A．三角形中至多有一个内角不小于60°
B．三角形中三个内角都小于60°
C．三角形中至少有一个内角不大于60°
D．三角形中一个内角都大于60°

10. 难度：中等

观察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，则7²⁰¹²的末两位数字为（ ）
A．01
B．43
C．07
D．49

11. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误

12. 难度：中等

用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除

二、填空题

13. 难度：中等

已知数列{a_n）的通项公式为a_n=2n-3，将数列中各项进行分组如下．第1组：a₁；第2组：a₂，a₃；…；如果第k组的最后一个数为a_m，那么第k+1组的（k+1）个数依次排列为：a_m+1，a_m+2，…，a_m+k+1（m，k∈N^*），则第10组的第一个数是    ．

14. 难度：中等

用反证法证明命题“对任意a、b∈R，a²+b²≥2（a-b-1）”，正确的反设为    ．

15. 难度：中等

有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：    ．

16. 难度：中等

已知，，，…，，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则a+b=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知中至少有一个小于2．

18. 难度：中等

已知a，b，c∈R⁺，求证：．

19. 难度：中等

（1）求证：；
（2）已知函数f（x）=e^x+，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

20. 难度：中等

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．
求证：f（x）=0无整数根．

22. 难度：中等

用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：或中至少有一个成立．