2011年天津市滨海新区高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则ai^3b等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．5

2. 难度：中等

极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（ ）
A．圆、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．直线、直线

3. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

4. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域是Ω₁，平面区域是Ω₂与Ω₁关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω₁中的任意一点A与Ω₂中的任意一点B，|AB|的最小值等于（ ）
A．
B．4
C．
D．2

5. 难度：中等

若函数f（x）的零点与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A．
B．f（x）=（x-2）²
C．f（x）=e^x-1
D．f（x）=ln（x+）

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①“x=”是“sinx=”的充分不必要条件；    
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是“∃x∈R，x²≤0”；
④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
其中为真命题的是（ ）
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③

7. 难度：中等

设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

8. 难度：中等

不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．[-1，4]
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=    cm．

10. 难度：中等

展开式中含x²项的系数是    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于    ．

12. 难度：中等

若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）²+（y-2）²=1相交的概率为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线C₁：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，它的准线与双曲线C₁的左准线重合，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，则双曲线C₁的离心率为    ．

14. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有    种．

1	2	3
4	5	6
7	8	9

三、解答题

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

16. 难度：中等

某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

如图，椭圆与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F₁、F₂，双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点，△MF₁F₂的周长为（4），设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}，a₁=，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有
（I）求通项a_n；
（II）记c_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜．