2013年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设{a_n}是有穷数列，且项数n≥2．定义一个变换η：将数列a₁，a₂，…，a_n，变成a₃，a₄，…，a_n+1，其中a_n+1=a₁•a₂是变换所产生的一项．从数列1，2，3，…，2²⁰¹³开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积为（ ）
A．（2²⁰¹³!）²⁰¹³
B．（2²⁰¹³!）²⁰¹²
C．（2013!）²⁰¹²
D．（2²⁰¹³!）!

二、填空题

2. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n，则a₅=    ．

3. 难度：中等

若某程序框图如图所示，则运行结果为    ．

4. 难度：中等

将函数y=sinx的图象先向左平移1个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式为    ．

5. 难度：中等

从点A到点B的路径如图所示，则不同的最短路径共有    条．

6. 难度：中等

设△ABC的三边长分别为a，b，c，重心为G，则=    ．

7. 难度：中等

设a，b，c∈R，有下列命题：
①若a＞0，则f（x）=ax+b在R上是单调函数；
②若f（x）=ax+b在R上是单调函数，则a＞0；
③若b²-4ac＜0，则 a³+ab+c≠0；
④若a³+ab+c≠0，则b²-4ac＜0．
其中，真命题的序号是    ．

8. 难度：中等

已知点A（-3，0）和圆O：x²+y²=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PD⊥AB于D，，直线PA与BE交于C，则当λ=    时，|CM|+|CN|为定值．

三、解答题

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求的取值范围．

10. 难度：中等

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X为取出3球中白球的个数，已知．
（Ⅰ）求袋中白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及其数学期望．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？

12. 难度：中等

如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点P是抛物线C₁上的动点．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点P作抛物线C₂的两条切线，M、N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．

13. 难度：中等

若f（x）是函数f（x）在点x附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称f（x）是函数f（x）的一个极值，x为极值点．已知a∈R，函数f（x）=lnx-a（x-1）．
（Ⅰ）若，求函数y=|f（x）|的极值点；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求a的取值范围．
（e为自然对数的底数）

四、选择题

14. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，x∈A，且x∉B，则x=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．9

15. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

16. 难度：中等

已知0＜a＜1，log_a（1-x）＜log_ax则（ ）
A．0＜x＜1
B．x＜
C．0＜x＜
D．＜x＜1

17. 难度：中等

函数y=cos2x+sin²x，x∈R的值域是（ ）
A．[0，1]
B．
C．[-1，2]
D．[0，2]

18. 难度：中等

在（1-2x）（1+x）⁵的展开式中，x³的系数是（ ）
A．20
B．-20
C．10
D．-10

19. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式|y-2|≤x≤2表示的平面区域的面积是（ ）
A．
B．4
C．
D．2

21. 难度：中等

若a，b表示直线，α表示平面，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

22. 难度：中等

设m是平面α内的一条定直线，P是平面α外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30°角，则直线n与平面α的交点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线