2012年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（2+ai）（1+i）的实部和虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

不等式 ＞2 的解集是（ ）
A．{x|＜x＜3}
B．{x|x＜ 或 x＞3}
C．{x|x＞}
D．{x|x＜}

3. 难度：中等

下列命题中：
①∀x∈R，x²-x+≥0；
②∃x∈R，x²+2x+2＜0；
③函数y=2^-x是单调递增函数．
真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=8，S₃=6，则S₁₀-S₇的值是（ ）
A．24
B．48
C．60
D．72

5. 难度：中等

某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种

6. 难度：中等

（文）若 cos（π-A）=-，则 sin（+A） 的值是（ ）
A．
B．-
C．
D．-

7. 难度：中等

已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）

A．
B．
C．
D．前三个判断都不正确

8. 难度：中等

已知平面α，β，γ，直线l，m，点A，在下面四个命题中正确的是（ ）
A．若 l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线
B．若 l∥α，l∥m，则 m∥α
C．若 l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则 α∥β
D．若 α⊥γ，α∩γ=m，γ∩β=l，l⊥m，则 l⊥α

9. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A．
B．（2-，2+）
C．[1，3]
D．（1，3）

二、填空题

10. 难度：中等

展开式中x⁴的系数为    （用数字作答）．

11. 难度：中等

已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60，70）上的汽车大约有    辆．

12. 难度：中等

已知向量=（x+z，3），=（2，y-z），且⊥．若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为    ．

13. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为     ．

15. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体的四个面中，最大的面积值为    ．

16. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：如图1，在区间（0，1）中数轴上的点M对应实数m；如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），射线AM与x轴交于点N（n，0）．则n就是m的象，记作f（m）=n．

下列说法：
①f（x） 的定义域为（0，1），值域为R；
②f（x） 是奇函数；
③f（x） 在定义域上是单调函数；
④f（）=-；
⑤f（x） 的图象关于点（，0）对称．
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值．

18. 难度：中等

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，，投中一球得1分，投不中得0 分，且两人投球互不影响．
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，记他们得分之和为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望；
（Ⅱ）甲、乙在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．

19. 难度：中等

（文）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙2名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．
（Ⅰ）用列举法求甲、乙两人都选择A社区医院的概率P₁；
（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率P₂．

20. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

21. 难度：中等

如图，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁与四棱锥A-BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=，AD=3，BB₁=1．
（1）设O是线段BD的中点，求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直线AB₁与平面ADD₁所成的角．

22. 难度：中等

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

23. 难度：中等

在数列 {a_n} 与 {b_n} 中，数列 {a_n} 的前n项和S_n满足 S_n=n²+2n，数列 {b_n} 的前n项和T_n满足 3T_n=nb_n+1，且b₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）设 c_n=cos，求数列 {c_n} 的前n项和R_n．

24. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．