2012年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-i
B．-1
C．i
D．1

2. 难度：中等

设集合，B={y|y=x²}，则A∩B=（ ）
A．[-2，2]
B．[0，2]
C．[0，+∞）
D．{（-1，1），（1，1）}

3. 难度：中等

在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率为（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4

4. 难度：中等

已知两条直线a，b与两个平面α、β，b⊥α，则下列命题中正确的是（ ）
①若a∥α，则a⊥b；
②若a⊥b，则a∥α； 
③若b⊥β，则α∥β；
④若α⊥β，则b∥β．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

5. 难度：中等

已知点P在圆x²+y²=5上，点Q（0，-1），则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．x²+y²-x=0
B．x²+y²-y-1=0
C．x²+y²-y-2=0
D．x²+y²-x+y=0

6. 难度：中等

已知p：|x-10|+|9-x|≥a的解集为R，＜1，则￢p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：

	优秀	非优秀	总计
A班	14	6	20
B班	7	13	20
C班	21	19	40

附：参考公式及数据：
（1）卡方统计量（其中n=n₁₁+n₁₂+n₂₁+n₂₂）；
（2）独立性检验的临界值表：

P（x^2≥k）	0.050	0.010
K	3.841	6.635

则下列说法正确的是（ ）
A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

8. 难度：中等

函数f（x）=的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）
A．16+4π
B．12+4π
C．16+8π
D．12+8π

10. 难度：中等

已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x₂＞x₁＞1时，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＜0恒成立，设a=f（-），b=f（2），c=f（3），则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c

11. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则等于（ ）
A．24
B．48
C．50
D．56

12. 难度：中等

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（x，-2），=（y，1），其中x，y都是正实数，若⊥，则t=x+2y的最小值是    ．

14. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的结果S的值为    ．

15. 难度：中等

的展开式中x²项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是    ．

16. 难度：中等

①函数在[0，π]上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0两侧；
③数列{a_n}为递减的等差数列，a₁+a₅=0，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则当n=4时，S_n取得最大值；
④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x-3y-5=0．
其中正确命题的序号是    （把所有正确命题的序号都写上）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（Asinωx，Acosωx），=（cosθ，sinθ），f（x）=•+1，其中A＞0、ω＞0、θ为锐角．f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当时，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；  
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求ϕ的最小值．

18. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，△BC₁C是等边三角形，AC⊥BC，AC=BC=4．
（1）求证：；
（2）设D为BB₁的中点，求二面角D-AC-B的余弦值．

19. 难度：中等

某超市计划在“五一”节期间对某种商品开展抽奖促销活动，设计的活动方案有两个：
方案一：采取摸球抽奖的方法．在盒子中放入大小相同的10个小球，其中白球7个，黄球3个．顾客在购买一件该商品后，有连续三次摸球的机会，每次摸出一个小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一个黄球奖励价值20元的奖品一件．
方案二：采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖．顾客在购买该商品后，用力转动圆盘一次，根据箭头A指向确定获得相应价值的奖品一件（箭头A指向每个区域的可能性相等，指向区域边界时重新转动）．
（I）按照这两种方案各进行一次抽奖，分别求出顾客能中奖的概率；
（II）设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为X元，按照方案二抽奖顾客能获得的奖品的价值为Y元，分别求出X和Y的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足b₁=2，b_n≠1，且．
（I）求a_n并证明数列{b_n-1}是等比数列；
（II）若数列{c_n}满足，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

21. 难度：中等

如图，已知F（2，0）为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，AB为椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦），线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D，且∠CAD=90°．
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点F斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆相交于两点P、Q．若存在一定点E（m，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等，求m的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，都有恒成立，求a的取值范围．