2013年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²-1≤0}，N={x|，x∈Z}，则M∩N=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{-1，0}
C．[-1，1）
D．[-1，0]

2. 难度：中等

设z=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．3-i
D．3+i

3. 难度：中等

若多项式x³+x¹⁰=a+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，则a₉=（ ）
A．9
B．10
C．-9
D．-10

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

5. 难度：中等

设x＞0，y＞0，且+=4，z=2log₄x+log₂y，则z的最小值是（ ）
A．-4
B．-3
C．-log₂6
D．2log₂

6. 难度：中等

若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中：
①“x＞|y|”是“x²＞y²”的充要条件；
②若“∃x∈R，x²+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
③已知平面α，β，γ，直线m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α；
④函数f（x）=（）^x-的所有零点存在区间是（，）．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（ ）
A．474种
B．77种
C．462种
D．79种

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（ ）
A．（，+∞）
B．（-∞，）
C．（-，-2）
D．（2，）

二、填空题

11. 难度：中等

从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于    ．

12. 难度：中等

如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有    个．

13. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为原点，且，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1，0），则的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，其中A为锐角，，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．

17. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求三棱锥C-OEF的体积；
（Ⅲ）求二面角的E-BC-F大小．

18. 难度：中等

小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；
（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．

19. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且4S_n=+2a_n+1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知公比为q（q∈N₊）的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，且存在m∈N₊满足b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求数列{b_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

21. 难度：中等

已知，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（3）求证：．