2013年福建省泉州市永春一中高三5月质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₄+a₈=16，则该数列前11项和S₁₁=（ ）
A．58
B．88
C．143
D．176

2. 难度：中等

若，，则sinθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．105

4. 难度：中等

设a＞0  a≠1，则“函数f（x）=a^x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-a）x³在R上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=1n（ex）-x的图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A．1800元
B．2400元
C．2800元
D．3100元

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数z=（3+i）²（i为虚数单位），则||=    ．

12. 难度：中等

如图的程序框图中，如果输入x=10，输出y=4，则在空白处填入    ．
（写出符合条件的所有序号）①x=x-1 ②x=x-2 ③x=x-3 ④x=x-4．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，则cosC的最小值等于    ．

14. 难度：中等

某同学由于求不出积分的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分．他用计算机分别产生10个在[1，e]上的均匀随机数x_i（1≤i≤10）和10个在[0，1]上的均匀随机数y_i（1≤i≤10），其数据记录为如下表的前两行

x	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
y	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnx	0.92	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为    ．

15. 难度：中等

记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

16. 难度：中等

2011年10月17日，永春一中隆重的举行105周年校庆，为了搞好接待工作，校庆组委会在高三年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图的茎叶图（单位：cm）．男生身高在175 cm以上（包括175 cm）定义为“高个子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定义为“非高个子”，女生身高在170 cm以上（包括170 cm）定义为“高个子”，身高在170 cm以下（不包括170 cm）定义为“非高个子”且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取4人，再从这4人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，请写出X的分布列，并求X的数学期望．

17. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

19. 难度：中等

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）求动点A所在的曲线方程；
（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

20. 难度：中等

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

21. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．

四、填空题

22. 难度：中等

（选修4-4：坐标与参数方程） 
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．
已知直线ι的极坐标方程为，圆C的参数方程为（θ为参数），求直线ι被圆C截得的弦长．

23. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）  
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，试求a的最值．