2011年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|3x+2|≤5}，则A∪B中元素的个数是（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14

2. 难度：中等

设a是实数，i是虚数单位，且是实数，则a等于（ ）
A．2
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知Sn为等差数列{a_n}的前n项，若a₂：a₄=7：6，则S₇：S₃等于（ ）
A．2：1
B．6：7
C．49：18
D．9：13

5. 难度：中等

已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤-2或a=1}
B．{a|a≥1}
C．{a|a≤-2或1≤a≤2}
D．{a|-2≤a≤1}

6. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且x+y=2，则的最小值为（ ）
A．4
B．
C．8
D．9

8. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT=2，PA=1，∠P=60^o，则圆O的半径r=    ．

10. 难度：中等

若x，y满足，则z=x+y的最大值是    ．

11. 难度：中等

在如图的程序框图中，输出S的值为    ．

12. 难度：中等

已知圆和圆的公共弦长为，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

已知平面向量=（2，4），=（-1，2）．若==    ．

14. 难度：中等

已知x∈R，f（x）为奇函数，且总有f（2+x）+f（2-x）=0，f（1）=-9，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．

16. 难度：中等

设有关于x的一元二次方程x²+ax+b²=0
（Ⅰ）若a是从1，2，3，4，5五个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[1，5]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

17. 难度：中等

已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=，．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

18. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．