2010年山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{1，3}
B．{2}
C．{2，3}
D．{3}

2. 难度：中等

设z=1-i（i为虚数单位），则z²（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1+i
D．1-i

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n，若a₃+a₇-a₁₀=8，a₁₁-a₄=4，则S₁₃等于（ ）
A．152
B．154
C．156
D．158

4. 难度：中等

在△ABC中，若，则角B的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°

5. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若幂函数f（x）的图象经过点A（），是它在A点处的切线方程为（ ）
A．4x+4y+1=0
B．4x-4y+1=0
C．2x-y=0
D．2x+y=0

7. 难度：中等

已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（3，n）若2-与共线，则实数n的值是（ ）
A．6
B．9
C．D
D．

9. 难度：中等

若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数y=e^x+mx有极值，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0
B．m＜0
C．m＞1
D．m＜1

11. 难度：中等

已知A、B为抛物线C：y²=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若，则直线AB的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）²+（y-2）²=1相交的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是直角梯形，侧视图和府视图都是矩形，则这个几何体的体积是    cm³．

14. 难度：中等

已知，则f（f（3））的值为     ．

15. 难度：中等

已知b＞0，直线b²x+y+1=0与ax-（b²+4）y+2=0互相垂直，则ab的最小值为    ．

16. 难度：中等

为了解学生参加体育活动的情况，我市对2009年下半年中学生参加体育活动的时间进行了调查统计，设每人平均每天参加体育锻炼时间为X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：
①0≤X≤10；②11≤X≤20；
③21≤X≤30；④X≥30．
有10000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中做某一项统计工作时的程序框图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼的时间不超过20分钟（≤20分钟）的频率是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x+a）+cos（x-a），其中0≤a＜π，且对于任意实数x，f（x）=f（-x）恒成立．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．

18. 难度：中等

已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
（Ⅰ）若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；
（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．

19. 难度：中等

如图，在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体如图所示．
（1）求证：BE∥平面ADF；
（2）求证：AF⊥平面ABCD；
（3）求三棱锥E-BCD的体积．

20. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且，公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2n-1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．