2009年天津市河北区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

与sin1090°的值相等的是（ ）
A．sin20°
B．cos80°
C．cos10°
D．sin80°

2. 难度：中等

“x∈（A∪B）”是“x∈（A∩B）”的（ ）
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设f（x）=3^x+3x-8用二分法求方程3^x+3x-7=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，经计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＞0，则可判断方程的根落在区间（ ）
A．（1.5，2）
B．（1.25，1.5）
C．（1，1.25）
D．不能确定

4. 难度：中等

函数y=x+cosx的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₂+a₄+a₅+a₉=4，则其前9项和S₉的值为（ ）
A．36
B．16
C．12
D．9

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个平面区域，则这个平面区域面积的值为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．32

7. 难度：中等

如图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，计算它的体积等于（ ）

A．
B．
C．64π
D．

8. 难度：中等

已知幂函数的图象不过原点，则m的值为（ ）
A．6
B．3
C．3或6
D．3或0

9. 难度：中等

若向量=（-1，2），=（-4，3），则在方向上的投影为（ ）
A．2
B．
C．
D．10

10. 难度：中等

已知直线ax+by-1=0（ab≠0）与圆x²+y²=2有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）
A．4条
B．6条
C．8条
D．10条

二、填空题

11. 难度：中等

一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别为36和0.25，则n=    ．

12. 难度：中等

已知直线l：x-y+2=0和圆C：（x-2）²+y²=9，则直线和圆的位置关系为    ．

13. 难度：中等

如图，BD平分∠ABC，AB=12，BC=15，如果∠ADB=∠C，则BD的长为    ．

14. 难度：中等

已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为    ．

15. 难度：中等

用直接法求函数f（x）=5x⁶-7x⁵+2x⁴-8x³+3x²-9x+1当x=x时的值，需做乘法21次，而改用秦九韶算法后，只需做乘法    次．

16. 难度：中等

一个计算机程序产生一个5位的随机二进制数A，其中每位数都是0或1，且出现0或1的概率相等，例如A的最小值为，A的最大值为，则这个随机数A小于十进制数12的概率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，且．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期T和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且，求θ的值．

18. 难度：中等

如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线（其中n是常数，e是自对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
（Ⅰ）桶2中的水y₂与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）再过多少分钟，桶1中的水是？

19. 难度：中等

已知如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的动点，且EF∥BC，设AE=x（0＜x＜4）．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图（2）．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（Ⅲ）当f（x）取得最大值时，求异面直线CD和BE所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞1），g（x）=x-b．
（Ⅰ）若a=e，且y=g（x）是y=f（x）的切线，求b的值；
（Ⅱ）若b=0，且y=g（x）是y=f（x）的切线，求a的值．

21. 难度：中等

已知A，B，C是椭圆m：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．

22. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₄，a₅；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．