2013年江西省吉安一中高三最后一模数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（-1+3i）i=（ ）
A．-3-i
B．3+i
C．-1+3i
D．3-i

2. 难度：中等

设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x²-5x+P=0}，若∁_UM={2，3}，则实数P的值为（ ）
A．-4
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“⊥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数的定义域是 （ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差为d，若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇的方差为1，则d等于（ ）
A．
B．1
C．
D．±1

7. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y²=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：
①BC⊥平面SAC；
②平面SBC⊥平面SAB；
③平面SBC⊥平面SAC；
④三棱锥S-ABC的体积为．
其中所有正确命题的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

10. 难度：中等

某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆：x²+y²=1相交于A、B两点，且，则=    ．

12. 难度：中等

已知x、y满足条件，则u=的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在锐角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，则△ABC的面积为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x）=（其中为f（x）在点x=处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知a²+b²=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1）、B（，1）．
（1）当a＜1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知x∈[0，]，且f（x）的最大值为2，求f（）的值．

17. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：PO⊥平面ABC．

18. 难度：中等

甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y如下表．

		1.01	1.02	1.03	1.04	1.05
零件尺寸x	甲	3	7	8	9	3
零件个数y	乙	7	4	4	4	a

由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=-91+100x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01（cm）．
（1）是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？
（2）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范围．

20. 难度：中等

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为p，mln（q+1）（m＞0）万元已知厂家把价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．
（1）当时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且||的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量与互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．