2011年天津市宝坻区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．-+i
B．--i
C．+i
D．-i

2. 难度：中等

已知向量，，则tan（a+）（ ）
A．
B．-
C．3
D．-3

3. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．命题“若lga＞lgb，则a＞b”的逆命题是真命题
B．命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“∃x∈R，2^x≤0”
C．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
D．“x²=1”是“x=1”的充分不必要条件

4. 难度：中等

阅读右边的程序框图，若输出S的值为52，则判断框内可填写（ ）

A．i≤10
B．i＜10
C．i≤9
D．i＜9

5. 难度：中等

已知{a_n} 是首项为1的等比数列，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列，则数列{}的前5项的和为（ ）
A．31
B．32
C．
D．

6. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）-log₂x的零点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

已知函数，则对任意x₁，x₂∈R，若0＜|x₁|＜|x₂|，下列不等式成立的是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＜0
B．f（x₁）+f（x₂）＞0
C．f（x₁）-f（x₂）＞0
D．f（x₁）-f（x₂）＜0

二、填空题

9. 难度：中等

某学校共有2000名学生，各年级男、女生人数如下表：

	一年级	二年级	三年级
男生	369	370	y
女生	381	x	z

已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到二年级女生的概率是0.19，现拟采用分层抽样的方法从全校学生中抽取80名学生，则三年级应抽取的学生人数为    人．

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为    ．

11. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中的x值为    ．

12. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，OC=1，OP=2，则PB=    ．

13. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值为    ．

14. 难度：中等

12名同学站成前后两排，前排4人，后排8人，现要从后排8人中选2人站到前排，若其他同学的相对顺序不变，则不同的调整方法种数为    种．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，且a=b，求角B的值．

16. 难度：中等

高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求平面AC₁D与平面ACC₁A₁所成的锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设椭圆C：（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，，坐标原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若||=2||，求直线l的斜率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，试证明；
（Ⅲ）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．