2013年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x（x-1）＜0，x∈R}，B={x|-2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜1，x∈R}
C．{x|-2＜x＜2，x∈R}
D．{x|-2＜x＜1，x∈R}

2. 难度：中等

如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[90，100），则图中x的值等于（ ）

A．0.754
B．0.048
C．0.018
D．0.012

3. 难度：中等

f（x）=，则f（f（-1））等于（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

4. 难度：中等

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sin（π-x）=sinx；命题q：α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧￢q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧q

6. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3
B．-3
C．1
D．

7. 难度：中等

根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=lnx-的零点所在的区间是（ ）

x	1	2	e	3	5
lnx		0.69	1	1.10	1.61
	3	1.5	1.10	1	0.6

A．（1，2）
B．（2，e）
C．（e，3）
D．（3，5）

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，若对任意的n∈N^*，都有（t为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差；
③若数列{c_n}满足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（1，λ），若，则λ=    ．

10. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=2，S₄=5S₂，则a₁的值为    ，S₄的值为    ．

11. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A+C=2B若a=1，，则c的值为    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于    ．

14. 难度：中等

对定义域的任意x，若有的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：
①，
②y=log_ax+1，
③
其中满足“翻负”变换的函数是    ． （写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．

16. 难度：中等

用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）

年级	相关人数	抽取人数
高一	99	x
高二	27	y
高三	18	2

（1）求x，y；
（2）若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．

17. 难度：中等

如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求证：平面GNM∥平面ADC′；
（2）求证：C′A⊥平面ABD．

18. 难度：中等

已知函数（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x，y）是曲线y=f（x）上的点，且x∈（0，3），若以P（x，y）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．