2009年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|x＜a}，则“A⊆B”是“a＞5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若PQ是圆x²+y²=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（ ）
A．x+2y-3=0
B．x+2y-5=0
C．2x-y+4=0
D．2x-y=0

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）与y=e^x互为反函数，函数y=g（x）的图象与y=f（x）图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（ ）
A．-e
B．-
C．
D．e

5. 难度：中等

抛物线y²=12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）
A．3
B．2
C．2
D．

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

7. 难度：中等

某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是（ ）
A．0.127
B．0.016
C．0.08
D．0.216

8. 难度：中等

将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．x=π

9. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β

10. 难度：中等

某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（ ）
A．5年
B．6年
C．7年
D．8年

11. 难度：中等

设函数若f（-4）=f（0），f（-2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（ ）
A．（-∞，-3]∪[-1，+∞）
B．[-3，-1]
C．[-3，-1]∪（0，+∞）
D．[-3，+∞）

12. 难度：中等

将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则lg1000⊗（）^-2=    ．

14. 难度：中等

若复数z满足z-2i=1+zi（其中i为虚数单位），则z=    ．

15. 难度：中等

若椭圆的离心率等于，则 m=    ．
．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量．
（1）求角B的大小；
（2）若a=，b=1，求c的值．

18. 难度：中等

正方体．ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，点F、H分别为为A₁D、A₁C的中点．
（Ⅰ）证明：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B₁H⊥平面AFC．

19. 难度：中等

定义在[-1，1]上的奇函数，已知当x∈[-1，0]时的解析式
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

20. 难度：中等

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x-y|≤5的事件概率．

21. 难度：中等

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当k为偶数时，数列{a_n}满足a₁=1，．证明：数列{}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）当k为奇数时，设，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．