2013年广西桂林市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

2. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

二、选择题

3. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z₁=a+i，z₂=2-i，且|z₁|=|z₂|，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．±2或0

4. 难度：中等

若集合M={x|-2＜x＜3}，N={y|y=x²+1，x∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-2，3）
C．[1，3）
D．R

5. 难度：中等

设向量、满足：||=1，||=2，•（-）=0，则与的夹角是（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

6. 难度：中等

已知a，b为实数，则“|a|+|b|＜1”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知直线l：xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（a+β）=（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

已知函数在点x=0处连续，则=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

10. 难度：中等

若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则w的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

11. 难度：中等

关于x的实系数一元二次方程x²+ac+2b=0的两个实数根分别位于区间（0，1），（1，2），则的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（）
C．（-）
D．（-）

12. 难度：中等

已知f（x）=2^x-1，g（x）=1-x²，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=-g（x），则h（x）（ ）
A．有最小值-1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值-1，无最大值
D．有最大值-1，无最小值

13. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+log_a在（1，）内恒小于零，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a＜1
B．0＜a
C．0
D．a≥

三、填空题

15. 难度：中等

数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），则a₇=    ．

16. 难度：中等

函数y=x³+x²+2在[-2，1]上的极大值为    ．

17. 难度：中等

若点P在直线l₁：x+my+3=0上，过点P的直线l₂与圆C：（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，且|PM|的最小值为4，则m=    ．

18. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）

四、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a≤b≤c），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n²（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）若tanx=-2，求f（x）的值
（2）求函数y=cotx[f（x）]的定义域和值域．

22. 难度：中等

已知函数．
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当时，讨论f（x）的单调性．