2009-2010学年广东省广州市育才中学高三调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

2. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β

3. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（ ）
A．-1
B．
C．-1或
D．1或

4. 难度：中等

直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定

5. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=（ ）
A．0.477
B．0.625
C．0.954
D．0.977

6. 难度：中等

已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

7. 难度：中等

已知函数f（x）=3ax²+bx-5a+b是偶函数，且其定义域为[6a-1，a]，则a+b=（ ）
A．
B．-1
C．1
D．7

8. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个数a，b，方程x²+ax+b²=0的两根均为实数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若复数z=（m²+2m-3）+（m-1）i是纯虚数，则实数m的值为    ．

10. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的s是    ．

11. 难度：中等

已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值为    ．

12. 难度：中等

在的展开式中，x³的系数是    （用数字作答）

13. 难度：中等

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且，，则B=    ，A=    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm²，则△ABC的面积为    cm²．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，，函数的图象经过点和．
（1）求实数a和b的值．
（2）当x为何值时，f（x）取得最大值．

17. 难度：中等

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数N=n₁，n₂，n₃，n₄，n₅，n₆，其中N的各位数中，n₁=n₆=1，n_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ=n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

19. 难度：中等

如图2所示，在边长为12的正方形AA'A'₁A₁中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A'A₁′与AA₁重合，构成如图3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且曲线过点
（1）求椭圆C的方程．（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N^*，证明：