2010年湖南省长沙一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

有下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．∀n∈R，n²≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m•n=m
C．∀n∈R，∃m∈R，m²＜n
D．∀n∈R，n²＜n

3. 难度：中等

已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．6

4. 难度：中等

函数f（x）=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为X（单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的程序框图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是（ ）

A．0.20
B．0.40
C．0.60
D．0.80

7. 难度：中等

已知0＜a＜1，0＜b＜1，则函数f（x）=x²log_ab+2xlog_ba+8的图象恒在x轴上方的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f （x）=，又a是函数g （x）=的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大上关系是（ ）
A．f（1.5）＜f（a）＜f（-2）
B．f（-2）＜f（1.5）＜f（a）
C．f（a）＜f（1.5）＜f（-2）
D．f（1.5）＜f（-2）＜f（a）

二、填空题

9. 难度：中等

用0.618法确定的试点，则经过    次试验后，存优范围缩小为原来的0.618⁴倍．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=80，则的值为     ．

11. 难度：中等

已知复数z₁=-1+2i，z₂=1-i，z₃=3-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若，则λ+μ的值是    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l与圆ρ=4相交于A、B两点，若|AB|=4，则直线l的极坐标方程为     ．

13. 难度：中等

在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算．如：十进制数8转换成二进制是1000，记作8_（10）=1000_（2）；二进制数111转换成十进制数是7，记作111_（2）=7_（10）．二进制的四则运算，如：11_（2）+101_（2）=1000_（2），请计算：11_（2）×111_（2）=    _（2）．10101_（2）+1111_（2）=    _（2）．

14. 难度：中等

∀x∈R，且x≠0．不等式恒成立，则实数a的取值范围是     ．

15. 难度：中等

设集合M={1，2，3，4，5，6}，对于a_i，b_i∈M，记且a_i＜b_i，由所有e_i组成的集合设为：A={e₁，e₂，…，e_k}，则k的值为     ；设集合B=，对任意e_i∈A，e'_j∈B，则e_i+e'_j∈M的概率为    

三、解答题

16. 难度：中等

上海世博会在游客入园参观的试运营阶段，为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8次记录，记录人数的茎叶图如图：
（1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；
（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时内，每个单位小时段安检人数高于80人的次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

17. 难度：中等

已知函数f （x）=2sin²
（1）若函数h （x）=f （x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值；
（2）设p：x∈，q：|f （x）-m|≤3，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

如图1所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD与直线l、圆O分别交于点D、E．
（1）求∠DAC的大小及线段AE的长；
（2）如图2所示，将△ACD沿AC折起，点D折至点P处，且使得△ACP所在平面与圆O所在平面垂直，连接BP，求二面角P-AB-C大小的余弦值．

19. 难度：中等

2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．
（1）求水面EF的宽度；
（2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

20. 难度：中等

[理]已知函数f（x）=ax--2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

21. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=-与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．