2011年内蒙古赤峰市平煤高中高三第一次学情测试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={x|0＜|x|≤2，x∈Z}则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．A∪B={x|x＜0}
C．A∪B={x|x≥0}
D．A∩B={1，2}

2. 难度：中等

已知f（x）=，则f（2009）等于（ ）
A．0
B．-1
C．2
D．1

3. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

y=sinxsin（x+）+sincos2x的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．，π
B．2，2π
C．，2π
D．1，π

5. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件则z=2x-y的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．[0，2]
C．[1，3]
D．[0，1]

6. 难度：中等

设x∈R，如果a＜lg（|x-3|+|x+7|）恒成立，那么（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．0＜a≤1
D．a＜1

7. 难度：中等

若（x+）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x⁴项的系数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x²-y²），则当点P沿着折线A-B-C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=-（x≥1）的反函数是     ．

10. 难度：中等

某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0.2，则该单位青年职员的人数为     人．

11. 难度：中等

从颜色不同的5个球中任取4个放入3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为     ．（用数字作答）

12. 难度：中等

设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（-1）=0，那么关于x的不等式x f（x）＜0的解集是     ．

14. 难度：中等

设与的夹角为θ，=（3，3），2-=（-1，1），则cosθ=   

15. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．

17. 难度：中等

从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0.7，B班车正点到达乙地的概率为0.75．
（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）．
（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）．

18. 难度：中等

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+，求证：b_n•b_n+2＜b²_n+1．

19. 难度：中等

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段EF被直线AC平分．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m的值；若不存在，说明理由．