2010年河北省唐山一中高考数学模拟试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=lg（1-x）}，集合B={y|y=x²}，则A∩B=（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．[0，1]
D．[0，1）

2. 难度：中等

设复数（1-i）¹⁰+（1+i）¹⁰=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位），则（ ）
A．a=0，b=0
B．a=0，b≠0
C．a≠0，b=0
D．a≠0，b≠0

3. 难度：中等

已知命题p：若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分不必要条件；命题q：已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角；向量，则与的夹角是锐角．则（ ）
A．p假q真
B．P且q为真
C．p真q假
D．p或q为假

4. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

5. 难度：中等

设函数f（x）满足，函数g（x）与函数f^-1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（10）=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设a为函数的最大值，则二项式的展开式中含x²项的系数是（ ）
A．192
B．182
C．-192
D．-182

7. 难度：中等

在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成角的正弦值是（ ）
A．
B．．
C．．
D．．

8. 难度：中等

若函数在x=1处连续，则=（ ）
A．3
B．1
C．
D．-3

9. 难度：中等

设O为坐标原点，M（2，1），点N（x，y）满足，则的最大值是（ ）
A．9
B．2
C．6
D．14

10. 难度：中等

已知函数，其中a∈{0，1}，b∈{1，2}，则f（x）＞0在x∈[-1，0]上有解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知b＞0，直线（b²+1）x+ay+2=O与直线x-b²y-1=O互相垂直，则ab的最小值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

已知平面α∥平面β，直线l⊂平面α，点P∈直线l，平面α与平面β间的距离为8，则在平面β内到点P的距离为10，且到直线l的距离为9的点的轨迹是（ ）
A．一个圆
B．四个点
C．两条直线
D．两个点

二、填空题

13. 难度：中等

2009年东亚运动会上，中国乒乓球男队派出王皓及5名年轻队员参加比赛，团体比赛需要3名队员上场，如果最后一个出场比赛的不是王皓，则不同的出场方式有    种（用数字作答）

14. 难度：中等

已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，直线a，b，c分别为α，β，γ内的直线，则下列命题中：①任意b⊂β，b⊥γ；②任意b⊂β，b∥γ； ③存在a⊂α，a⊥γ； ④存在a⊂α，a∥γ； ⑤任意c⊂γ，c∥α；  ⑥存在c⊂γ，c⊥β．真命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知O为原点，从椭图的左焦点F₁引圆x²+y²=4的切线F₁T交椭圆于点P，切点T位于F₁、P之间，M为线段F₁P的中点，则|MO|-|MT|的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a+c=4，求边长b．

18. 难度：中等

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，先从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，设这两张卡片的号码分别为x，y，O为坐标原点，P（x-2，x-y），记ξ=|OP|²．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取最大值”的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且．
（1）记，证明：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=（2a_n-1）²，求的值．

20. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

21. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知直线x-2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．