2011年河北省衡水中学高考数学三模试卷A（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则=（ ）
A．1一i
B．一l+i
C．1+i
D．一1一i

2. 难度：中等

已知函数定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤0或k≥1
B．k≥1
C．0≤k≤1
D．0＜k≤1

3. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则实数z=2x+y（ ）
A．有最小值，有最大值
B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最大值
D．无最小值，无最大值

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且9a₁，3a₂，a₃成等比数列．若a₁=3，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．12
D．16

5. 难度：中等

三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AD=，AC=1，则A、B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程所表示的曲线为（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

7. 难度：中等

将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放在相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（ ）
A．192
B．144
C．288
D．240

8. 难度：中等

设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．c＜d＜a＜b
C．c＜b＜d＜a
D．b＜d＜c＜a

9. 难度：中等

已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）其中x₁＜x₂＜x₃，则有（ ）
A．sinx₃=1
B．sinx₃=x₃cosx₃
C．sinx₃=x₃tanx₃
D．sinx₃=kcosx₃

10. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．若E为PC中点，则BE与平面PAC所成的角的大小等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

11. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂为定值
B．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂为定值
C．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
D．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂也减小

二、填空题

13. 难度：中等

某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a_n}，己知a₁=1，a₂=2，且满足a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，则该医院30天内因患H1N1流感就诊的人数共有
    ．

14. 难度：中等

设X～N（μ，σ²），且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R，求的值    ．（φ（1）=0.8413，φ（2）=0.9772）

15. 难度：中等

P是△ABC所在平面内一点，且满足，已知△ABC的面积是1，则△PAB的面积是    ．

16. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（，]上是增函数；
则其中真命题是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量m=（，），n=（，），记f（x）=m•n；
（1）若f（x）=1，求的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函
数f（A）的取值范围．

18. 难度：中等

某公司有电子产品n件，合格率为96%，在投放市场之前，决定对该产品进行最后检验，为了减少检验次数，科技人员采用打包的形式进行，即把x件打成一包，对这x件产品进行一次性整体检验，如果检测仪器显示绿灯，说明该包产品均为合格品；如果检测仪器显示红灯，说明该包产品至少有一件不合格，须对该包产品一共检测了x+1次
（1）探求检测这n件产品的检测次数f（x）；
（2）如果设0.96ⁿ≈1-0.04n，要使检测次数最少，则每包应放多少件产品？

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°．
（1）求的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

22. 难度：中等

过曲线上的一点Q（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；…如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，设P_n的横坐标为x_n（n∈N^*）
（I）试用n表示x_n；
（II）证明：；
（III）证明：．