2010年福建省厦门外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1}，N={y|y=x²+1，x∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{0，1，3}
D．Φ

2. 难度：中等

已知p，q是简单命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为假命题”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若实数x，y满足，则y-x的最大值为（ ）
A．2
B．6
C．8
D．4

4. 难度：中等

如右所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．-1
B．1
C．2
D．（第4题图）

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sinπx的部分图象如图1所示，则图2所示的函数的部分图象对应的函数解析式可以是（ ）
A．y=f（2x-）
B．y=f（）
C．y=f（2x-1）
D．y=f（）

6. 难度：中等

双曲线-=1的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，则r=（ ）
A．
B．2
C．3
D．6

7. 难度：中等

已知f（x）=a^x，（a＞1）的导函数是f'（x），记A=f'（a），B=f（a+1）-f（a），C=f'（a+1）则（ ）
A．A＞B＞C
B．A＞C＞B
C．B＞A＞C
D．C＞B＞A

8. 难度：中等

下面命题中正确的个数是（ ）
①在频率分布直方图中估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和；
②线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强．
③相关指数R²越接近1，表示回归效果越好．
④回归直线一定过样本中心．
⑤已知随机变量X～N（2，σ²），且P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）=0.16．
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

现有一个直径为4R，高为28R的圆柱形圆桶，则最多能装进直径为2R的球（ ）个（装入的球不得超出圆柱口）？
A．28
B．38
C．36
D．34

10. 难度：中等

已知下表为函数f（x）=ax³+cx+d部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

x	3.27	1.57	-0.61	-0.59	0.26	0.42	-0.35	-0.56		4.25
y	-101.63	-10.04	0.07	0.026	0.21	0.20	-0.22	-0.03		-226.05

下列关于函数f（x）的叙述：
（1）f（x）为奇函数；                          （2）f（x）在[0.55，0.6]上必有零点
（3）f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减；         （4）a＜0
其中所有正确命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的虚部是    ．

12. 难度：中等

P是△ABC所在平面上的一点，且满足，若△ABC的面积为1，则△PAB的面积为     ．

13. 难度：中等

小F同学热爱数学，一天，他动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在左下图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，他随机地撒50粒，100粒，200粒…分别记录落在圆内的豆子数．若他在撒50粒的实验中统计得到落在圆内的豆子数为35粒，则由此估计出的圆周率π的值为     ．（精确到0.01）

14. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积是     ．

15. 难度：中等

某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）=    ，f（n）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

18. 难度：中等

已知数列a_n满足：2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，n∈N^*
（1）求数列a_n的通项公式；（2）若b_n=a_n+2ⁿ+1，求数列的前n项和．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px，（p＞0），点到抛物线C的准线的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过直线l：x=-1上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），求证：直线ST过定点，并求出该定点；
（3）当直线l变动时，是否也有相应的结论成立？请写出一个正确的命题来（无需证明）．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（a-1）ln（e^x+a²-a-2）（a为常数）是实数集R上的增函数，对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函数，函数g（x）=ln[f（x）+1]．
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求实数p的取值范围；
（3）求证：当n∈N^*时，g（n）＜1+．

21. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．
①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

22. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）在曲线上找一点P，使得点P到曲线（t为参数）的距离d最小，求出最小值及此时点P的坐标．

23. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）已知a＞b＞c＞0，求证：（并指出等号成立的条件）