2009-2010学年浙江省杭州市长河高中高三第四次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

含有3个元素的集合既可表示为{x，1，}，又可表示为{x²，0，x+y}，则x²⁰⁰⁹+y²⁰⁰⁹的值是（ ）
A．1
B．-1
C．2²⁰⁰⁹
D．（-2）²⁰⁰⁹

2. 难度：中等

（1+x+x²）（1-x）¹⁰展开式中合并同类项后x⁴的系数为（ ）
A．135
B．375
C．210
D．45

3. 难度：中等

设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A．x+y-5=0
B．2x-y-1=0
C．2y-x-4=0
D．2x+y-7=0

4. 难度：中等

下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

5. 难度：中等

盒子中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰有2只是好的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里

7. 难度：中等

函数y=sin²x+2cosx在区间[-，]上的值域为（ ）
A．[-，2]
B．[-，2）
C．[-，]
D．（-，]

8. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件
B．对命题：p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢P为：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
C．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的充分而不必要条件
D．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”

9. 难度：中等

设R上的函数f（x）满足f（4）=1，它的导函数的图象如图，若正数a、b满足f（2a+b）＜1，则z=a+b的取值范围是（ ）

A．（-2，4）
B．（0，4）
C．（2，4）
D．（-∞，0）

10. 难度：中等

设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[0.3]=0，[-0.4]=-1．则在坐标平面内满足方程[x]²+[y]²=25的点（x，y）所构成的图形的面积为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14

二、填空题

11. 难度：中等

若双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为    ．

12. 难度：中等

某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是    ．

13. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁+a₂=4，a₇+a₈=28，则该数列前10项和S₁₀=    ．

14. 难度：中等

4双号码不同的鞋，任取4只，恰有1双的取法共有    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集    ．

17. 难度：中等

给出下列三个命题：
①k=±1是直线y=k（x+1）与抛物线y²=4x只有一个交点的充要条件
②函数f（x）=lnx-在x∈（1，e）上有且只有一个零点
③直线ax+y+2a=0与圆x²+2x+y²-3=0恒有两个不同交点．
其中不正确的命题序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若，其中x，y∈R．
（1）若∠AOC=30°，求x，y的值；
（2）求x+y的最大值．

20. 难度：中等

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21. 难度：中等

已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（λ＞0），
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算的值；
（3）求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=．
（Ⅰ）求g（x）在P（，g（））处的切线方程l；
（Ⅱ）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；
（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的个数．