2010年福建省厦门市双十中学高三热身数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，集合A，B分别用两个椭圆所围区域表示，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知复数z=a+bi（a，b∈R），则b≠0是复数z为纯虚数的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知||=3，||=1，且与同向共线，则•的值是（ ）
A．-3
B．0
C．3
D．-3或3

4. 难度：中等

双曲线kx²-y²=1的一个焦点是，那么它的实轴长是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如果f（x）是定义在R上的奇函数，它在[0，+∞）上有f′（x）＜0，那么下述式子中正确的是（ ）
A．f（）≥f（a²+a+1）
B．f（）≤f（a²+a+1）
C．f（）=f（a²+a+1）
D．以上关系均不确定

7. 难度：中等

下面四个命题中，正确命题的序号是（ ）
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④

8. 难度：中等

函数f（x）=x-sinx（x∈R）的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（ ）
A．4
B．3
C．2
D．5

10. 难度：中等

若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，则关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知两点M（-3，0），N（3，0），点P为坐标平面内一动点，且，则动点P（x，y）到两点A（-3，0）、B（-2，3）的距离之和的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx-1（a，b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为（ ）
A．（-1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-∞，1）
D．（-1，1）

二、填空题

13. 难度：中等

命题p：∀x≥0，x²＞0，则¬p是     ．

14. 难度：中等

函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=log_sin1（x²-6x+5）在（a，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对于∀x₁∈[-2，2]，总∃x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF．
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．
（3）求四棱锥F-ABCD的体积．

19. 难度：中等

汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO₂排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO₂排放量检测，记录如下（单位：g/km）．

甲	80	110	120	140	150
乙	100	120	x	y	160

经测算发现，乙品牌车CO₂排放量的平均值为g/km．
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO₂排放量的概率是多少？
（2）若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO₂排放量的稳定性．

20. 难度：中等

将n²个数排列成n行n列的一个数阵，已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数列第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m（其中m∈R⁺）为公比的等比数列，
（Ⅰ）求第i行第j列的数a_ij；
（Ⅱ）求这n²个数的和．

21. 难度：中等

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知在区间[-1，1]上是增函数
（ I）求实数a的取值范围；
（ II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x₁，x₂．
①求|x₁-x₂|的最大值；
②试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1＞|x₁-x₂|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．