2011年甘肃省兰州一中高考实战演练数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合P={x|x≥3}，M={x|x＜4}，则P∩（C_UM）=（ ）
A．P
B．M
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|x≥4}

2. 难度：中等

设复数，则化简复数的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2ωx-）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=

4. 难度：中等

若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（ ）
A．5
B．8
C．10
D．12

6. 难度：中等

已知，则tan（α+β）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

在“家电下乡”活动中，某厂准备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇开展家电促销活动，若要求销售员和技术员至少各一名，则不同的组合方案种数为（ ）
A．140
B．100
C．80
D．70

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，则“c=-1”是“函数f（x）在R上递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（ ）
A．100π
B．50π
C．25π
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上周期为的可导函数，若f（2）=2，且=2，则曲线f（x）在点（0，f（0））处切线方程是（ ）
A．y=-4x+2
B．y=-2x+2
C．y=4x+2
D．y=-x+2

11. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．a_n=（n∈N⁺）
B．a_n=n（n-1）（n∈N⁺）
C．a_n=n-1（n∈N⁺）
D．a_n=2ⁿ-2（n∈N⁺）

二、填空题

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₃+a₇=-2，则数列{a_n}的前9项和S₉=    ．

14. 难度：中等

随机变量ξ的分布列如下：

ξ	-1		1
P	a	b	c

其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是    ．

15. 难度：中等

满足约束条件 的点P（x，y）所在平面区域的面积为    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）在其定义域内某一区间[a，b]上连续，且对[a，b]中任意实数x₁，x₂，都有，则称函数f（x）在[a，b]上是下凸函数；有以下几个函数：
①f（x）=x²+ax+b，x∈R；
②；
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④；
⑤．
其中是下凸函数的是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

18. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，AB=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角．
（1）若F、G分别为A′D、EB的中点，求证：FG∥平面A′BC；
（2）求二面角D-A′B-C度数的余弦值

19. 难度：中等

“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆•贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆•贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆•贵宾厅”的概率均为，陶艺入选“中国馆•贵宾厅”的概率为．
（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆•贵宾厅”的概率；
（2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆•贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，设，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求S_n；
（II）求的值．

21. 难度：中等

已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

22. 难度：中等

已知．
（I）讨论f（x）的单调性，并求出f（x）的最大值；
（II）求证：；
（III）比较f（2²）+f（3²）+…f（n²）与的大小，并证明你的结论．