2008年江苏省苏州十中高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是    ．

2. 难度：中等

设f（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上有最小值    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式，设前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n的最小值是    ．

4. 难度：中等

设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．记f₁（n）=f（n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），则f₂₀₀₇（2007）=    ．

5. 难度：中等

设，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+都是定义在区间A=[1，]上的函数．如果∀x∈A，∃x∈A使得f（x）≥f（x），g（x）≥g（x），且f（x）=g（x），则y=f（x）在区间A上的最大值等于     ．

7. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为    ．

8. 难度：中等

依据下列算法的伪代码：
x←2
i←1
s←0
While  i≤4
s←s×x+1
i←i+1
End  While
Print  s
运行后输出的结果是    ．

9. 难度：中等

已知回归直线斜率的估计值为1.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=cosx+|sinx|（x∈[0，2π]）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去，得图（2）；如此继续下去…，试问第n个图共挖去    个正方形．

12. 难度：中等

在圆x²+y²=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a₁，最长弦长为a_n，若公差，那么n的取值集合    ．

13. 难度：中等

已知函数在（-∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设m，n是异面直线，则（1）一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；（2）一定存在平面α，使m⊂α且n⊥α；（3）一定存在平面γ，使m，n到γ的距离相等；（4）一定存在无数对平面α和β，使m⊂α，n⊂β，且α⊥β；上述4个命题中正确命题的序号是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率．（1）求a+b+c的值；（2）求的取值范围．

16. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值．

17. 难度：中等

已知△ABC的面积为3，且满足，设和的夹角为θ．
（I）求θ的取值范围；
（II）求函数的最大值与最小值．

18. 难度：中等

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

19. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若＜t＜2，b_n=（n∈N^*），求证：++…+＜2ⁿ-．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+＜1（n∈N^*），证明：x_n≤1（n∈N^*）．