2011年内蒙古包头一中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||2x-1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（ ）
A．{x|-1＜x＜-或2＜x＜3}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|-＜x＜2}
D．{x|-1＜x＜-}

2. 难度：中等

函数f（x）=x|x|+2x（x＜0）的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知0＜a＜1，x=log_a+log_a，y=log_a5，z=log_a-log_a，则（ ）
A．x＞y＞z
B．z＞y＞
C．y＞x＞z
D．z＞x＞y

4. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-4

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，则a₂+a₅+a₈=（ ）
A．26
B．27
C．28
D．29

6. 难度：中等

已知是非零向量且满足，则的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

9. 难度：中等

设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

y=，则a为（ ）
A．0
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设直线ax-y+3=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则a=    ．

14. 难度：中等

的最大值是    ．

15. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为a_n，若=3，则=    ．

16. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求函数y=sin⁴x+2sinxcosx-cos⁴x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式

21. 难度：中等

已知方向向量为的直线l过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足，求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．