2011年福建省莆田十中高三适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的导函数图象经过点（1，2），则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2
B．f（x）=x²
C．f（x）=2^x
D．

2. 难度：中等

在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a=b”是“acosA=bcosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（ ）

A．i＜10
B．i≤10
C．i≤9
D．i＜9

4. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与β、α与γ均相交但不垂直，a、b分别为α、β内的直线，则（ ）
A．∀b⊂β，b⊥γ
B．∀b⊂β，b∥γ
C．∃a⊂α，a⊥γ
D．∃a⊂α，a∥γ

6. 难度：中等

已知双曲线的焦点F₁、F₂在x轴上，A为双曲线上一点，AF₂⊥x轴，|AF₁|：|AF₂|=3：1，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=35，点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上，则使S_n取得最大值的n值为（ ）
A．6
B．7
C．5，6
D．7，8

8. 难度：中等

函数的y=f（x）图象如图1所示，则函数y=的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，设点集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}，M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若复数z=（2+i）（a+i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为    ．

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

设向量满足，，且的模分别为s，t，其中s=a₁=1，t=a₃，a_n+1=na_n，则的模为    ．

14. 难度：中等

如果则（1+2x）（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数为    ．

15. 难度：中等

莆田十中高三（1）研究性学习小组对函数的性质进行了探究，小组长收集到了以下命题：
下列说法中正确命题的序号是    ．（填出所有正确命题的序号）
①f（x）是偶函数；                     ②f（x）是周期函数；
③f（x）在区间（0，π）上的单调递减；  ④f（x）没有值最大值．

三、解答题

16. 难度：中等

从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．
（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为ξ，求ξ的分布列及期望．

17. 难度：中等

已知α为锐角，且，函数，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁CC₁．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆经过点（p，q），离心率．其中p，q分别表示标准正态分布的期望值与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'．①试建立△AOB的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化时，直线A'B与x轴交于一个定点”．你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

20. 难度：中等

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求的最大值；
（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调递减区间；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D求证    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，向量．
（1）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量；
（2）求的值．

22. 难度：中等

以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，圆O₁的方程为ρ=4cosθ，圆O₂的参数方程为（为参数），求两圆的公共弦的长度．

23. 难度：中等

若函数f（x）=2^|x+7|-|3x-4|的最小值为2，求自变量x的取值范围．