2009-2010学年四川省南充一中高三（下）6月适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若∅⊊{x|x²+x+m≤0，m∈R}，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．
B．
C．4
D．12

3. 难度：中等

已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A．n⊥β
B．n∥β，或n⊂β
C．n⊥α
D．n∥α，或n⊂α

4. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

6. 难度：中等

若圆x²+y²=r²（r＞0）上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是（ ）
A．[4，6]
B．（4，6）
C．（4，6]
D．[4，6）

7. 难度：中等

已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d⇒a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为p₁，今年相对于去年的增长率为p₂，且p₁＞0，p₂＞0，p₁+p₂=p．如果这种产品的产量在这两年中的平均增长率为x，则（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，前n项和S_n=，前m项和S_m=（m≠n），则S_m+n（ ）
A．小于4
B．等于4
C．大于4
D．大于2且小于4

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，则角C=    ．

12. 难度：中等

若双曲线-=1的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为    ．

13. 难度：中等

一次单元测验由50道选择题组成，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分．若小明选对任一题的概率均为0.8，则小明在这次测验中成绩的标准差是    分．

14. 难度：中等

计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=    ．

15. 难度：中等

给出下列四个命题：
①“向量a，b的夹角为锐角”的充要条件是“a•b＞0”；
②如果f（x）=lgx，则对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有；
③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；
④记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到y=f^-1（1-x）的图象．
其中真命题的序号是    ．（请写出所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）若，且△ABP的面积为，求实数λ的值．

17. 难度：中等

（文科做） 如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分别为AD，CD，BB₁，C₁D₁的中点
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

18. 难度：中等

（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．

20. 难度：中等

已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，点E为右准线上的动点，∠AEF₂的最大值为θ．
（1）若双曲线的左焦点为F₁（-4，0），一条渐近线的方程为3x-2y=0，求双曲线的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为P'、Q'，O为坐标原点，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{a_n}满足a₁=1，那么：
①若0＜a_n+1≤f（a_n），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{a_n}，恒成立，求最小的N；
②若a_n+1=f（a_n），求证：．