2010年甘肃省兰州市兰炼三中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

设复数z满足=i，则z=（ ）
A．-2+i
B．-2-i
C．2-i
D．2+i

3. 难度：中等

函数y=xln（-x）与y=xlnx的图象关于（ ）
A．直线y=x对称
B．x轴对f（x）=g（x）^-1关称
C．y轴对称
D．原点对称

4. 难度：中等

已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a

6. 难度：中等

等比数列{a_n}中，，则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=2^4-n
B．a_n=2^n-4
C．a_n=2^n-3
D．a_n=2^3-n

7. 难度：中等

把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

设曲线y=2sinx+x在点p处的切线与直线x+1=0垂直，则P点的坐标为（ ）
A．（-，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

9. 难度：中等

已知双曲线C₁：的左准线为l，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l焦点是F₂，若C₁与C₂的一个交点为P，则|PF₂|的值等于（ ）
A．40
B．32
C．8
D．4

10. 难度：中等

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（ ）
A．96
B．16
C．24
D．48

11. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，将函数f（x）图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到图象表示的函数可以为（ ）

A．y=sin（x+）
B．y=sin（4x+）
C．y=sin（x+）
D．y=sin（4x+）

12. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数，若f（x）≥1，则x的取值范围为    ．

15. 难度：中等

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为    ．

16. 难度：中等

下列关于函数的命题正确的序号是     ．
（1）函数f（x）在区间上单调递增
（2）函数f（x）的对称轴方程是（k∈Z）
（3）函数f（x）的对称中心是（）（k∈Z）
（4）函数f（x）以由函数g（x）=2cos2x+1向右平移个单位得到

三、解答题

17. 难度：中等

已知向已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量=（-cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=，△ABC的面积S=，求b+c的值．

18. 难度：中等

为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
（1）求文娱队的人数；
（2）求ξ的分布列并计算Eξ．

19. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大小．

20. 难度：中等

已知分别是x、y轴正方向的单位向量，点P（x，y）为曲线C上任意一点，且满足．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在直线l，使得l与C交于不同两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在求出l的倾斜角α的范围，若不存在说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在[1，+∞）上是增函数，不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系．
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当n∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围；
（3）在-3≤m＜1时，证明．