2010年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁=2+i，z₂=3-i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

2. 难度：中等

在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为174cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

某化工产品的产量受A、B、C三个因素的影响，每个因素有两个水平，分别用A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂表示．分析如图正交试验结果表，得到最佳因素组合（最佳因素组合是指实验结果最大的因素组合）为（ ）

实验号\列号	A	B	C	实验结果
1	A1	B1	C1	79
2	A1	B2	C2	65
3	A2	B1	C2	88
4	A2	B2	C1	81
1水平的平均值	72	83.5	80
2水平的平均值	84.5	73	76.5

A．（A₁，B₂，C₁）
B．（A₂，B₁，C₂）
C．（A₂，B₁，C₁）
D．（A₂，B₂，C₂）

4. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积（单位：cm³）是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ）
A．72种
B．54种
C．36种
D．18种

7. 难度：中等

函数，∃m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

已知a、b是关于x的方程的两根，则过两点A （a²，a），B （b²，b）的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

如果执行的程序框图如图所示，那么输出的S=    ．

10. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，则=    ．

11. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程是，若直线l与双曲线的一条渐近线平行，则实数a=    ．

12. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了105人，并规定：身高大于175cm的为“高个”，小于或等于175cm的为“非高个”；脚长大于42码的为“大脚”，小于或等于42码的为“非大脚”．根据测得结果得到一个2×2列联表．根据该表信息，能够以     的把握认为“脚的大小与身高有关系”．（填百分比）．

附：，其中n=a+b+c+d．

14. 难度：中等

已知函数f （x）=log₂x-3sin（2πx），则函数y=f （|x|）的零点个数为     ．

15. 难度：中等

给定项数为m （m∈N*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），这样的数列叫”0-1数列”．若存在一个正整数k （2≤k≤m-1），使得数列{a_n}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0，因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（1）已知数列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列     “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为“2阶可重复数列”，则m的最小值是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（sina，cosa），=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=•．
（1）求函数f（a）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

17. 难度：中等

“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆•贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆•贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆•贵宾厅”的概率均为，陶艺入选“中国馆•贵宾厅”的概率为．
（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆•贵宾厅”的概率；
（2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆•贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=4，CD=2，等腰梯形的高为3，O为AB中点，PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO=2，EA∥PO．
（1）求证：BD⊥平面EAC；
（2）求二面角E-AC-P的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a，mln（b+1）万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设，是否存在斜率为k （k≠0）的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_n=2c_m+1的所有正整数m的值．