2011年北京大学附中高三适应性训练数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-1
B．-i
C．1
D．i

2. 难度：中等

已知命题p：∃x＞1，x²-1＞0，那么¬p是（ ）
A．∀x＞1，x²-1＞0
B．∀x＞1，x²-1≤0
C．∃x＞1，x²-1≤0
D．∃x≤1，x²-1≤0

3. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．6

4. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的t=（ ）

A．96
B．120
C．144
D．300

5. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

6. 难度：中等

若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（ ）
A．64
B．32
C．16
D．8

7. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

8. 难度：中等

设集合X是实数集R的子集，如果点x∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x|＜a，称x为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①；  ②{x|x∈R，x≠0}；③；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，已知，则B=    ．

10. 难度：中等

实数x，y满足|x|＜2，|y|＜1，则任取其中x，y，使x²+y²≤1的概率为    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=mx²+（m-3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

设数列{a_n}为各项均为1的无穷数列，右在此数列的首项a₁后面插入一项1，隔两项即a₃后面插入一项2，再隔三项即a₆后面插入一项3，…，得到这样一个新数列{b_n}，则数列{b_n}的前50项的和为    ．

14. 难度：中等

若点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则
（1）点集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为    ；
（2）点集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知．
（I）求tanα的值；
（II）若的最小正周期和单调递增区间．

16. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

17. 难度：中等

已知梯形ABCD中，BC∥AD，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△CD'G．
（1）求证：EF∥平面AD'B；
（2）求证：平面CD'G⊥平面AD'G．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²（x-a），其中a∈R．g（x）=f（x）+f'（x）．
（I）当函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2时，求此直线在y轴上的截距；
（II）求证：g（x）既有极大值又有极小值；
（III）若g（x）取极大值和极小值对应的x值分别在区间（-2，-1）和（3，4）内，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆，动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切．
（I）求圆心轨迹M的曲线方程；
（II）若A（0，-2）为y轴上一定点，Q（t，0）为x轴上一动点，过点Q且与AQ垂直的直线与轨迹M交于D，B两点（D在线段BQ上），直线AB与轨迹M交于E点，求的最小值．

20. 难度：中等

现有一组互不相同的从小到大排列的数据：a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）设P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．