2010年浙江省绍兴市鲁迅中学高三适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax（a∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．∃a∈R，f（x）是偶函数
B．∃a∈R，f（x）是奇函数
C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数
D．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数

2. 难度：中等

式子-2C_n¹+4C_n²-8C_n³+…+（-2）ⁿC_nⁿ等于（ ）
A．（-1）ⁿ
B．（-1）ⁿ-1
C．3ⁿ
D．3ⁿ-1

3. 难度：中等

如果复数z=a²+a-2+（a²-3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）
A．-2
B．1
C．2
D．1或-2

4. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A．n≤8？
B．n≤9？
C．n≤10？
D．n≤11？

5. 难度：中等

若a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则下列命题中是真命题的为（ ）
A．l与a、b分别相交
B．l与a、b都不相交
C．l至多与a、b中的一条相交
D．l至少与a、b中的一条相交

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]∪[4，+∞）
B．[-1，4]
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

8. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的三位数中能被9整除的个数为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．24

9. 难度：中等

已知P为双曲线左支上一点，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=
则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．5
C．2
D．3

10. 难度：中等

已知函数f（x）=3x-2，x∈R．规定：给定一个实数x，赋值x₁=f（x₁），若x₁≤244，则继续赋值，x₂=f（x₂），…，以此类推，若x_n-1≤244，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n称为赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值k次后该过程停止，则x的取值范围是（ ）
A．（3^k-6，3^k-5]
B．（3^k-6+1，3^k-5+1]
C．（3^5-k+1，3^6-k+1]
D．（3^4-k+1，3^5-k+1]

二、填空题

11. 难度：中等

若，则tanα的值等于     ．

12. 难度：中等

若x，y满足则z=x+2y的最大值为    ．

13. 难度：中等

若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则=    ．

14. 难度：中等

为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为y=log_a（x+4），明文密文密文明文．如上所示，明文“4”通过加密加密后得到“3”再发送，接受方通过解密钥解密得明文“4”，问若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文是    ．

15. 难度：中等

定义符号函数sgnx=则不等式：x+2＞（2x-1）^sgnr的解集是    

16. 难度：中等

矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则当x=    时，y有最小值．

17. 难度：中等

当θ取遍所有值时，直线所围成的图形面积为     ．

三、解答题

18. 难度：中等

A、B是直线图象的两个相邻交点，且．
（I）求ω的值；
（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．

19. 难度：中等

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．
（I）求证：SO⊥面ABC；
（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

如图，S（1，1）是抛物线为y²=2px（p＞0）上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA=SB．
（I）求证：直线CD的斜率为定值；
（Ⅱ）延长DC交x轴于点E，若|EC|=|DE|，求cos2∠CSD的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．