2010年湖南省益阳市箴言中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={x|x²-2x-3＜0}，B=，则A∩C_RB=（ ）
A．（-1，2）
B．（2，3）
C．[2，3）
D．（-1，3）

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

3. 难度：中等

已知直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0，则是l₁∥l₂的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，则f（x）=（ ）
A．2x⁴+3x²
B．2x⁴-3x²
C．4x⁴+x²
D．4x⁴-x²

5. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（ ）
A．3
B．
C．2009
D．

6. 难度：中等

函数y=f（x）与y=f′（x）的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

方程x⁴=2^|x|的实根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

=（ ）
A．4ln2
B．4ln2+1
C．4ln2+3
D．3ln2+3

二、填空题

9. 难度：中等

函数的定义域为     ．

10. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）过点，则=    ．

11. 难度：中等

已知函数，若f（2）=2，则f（-2）=    ．

12. 难度：中等

已知A={a，b，c}，B={0，1，2}，则满足条件f（a）+f（b）＞f（c）的映射f：A→B有     个．

13. 难度：中等

已知定义域为D的函数f（x），对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K成立，则称函数f（x）是D上的“有界函数”．已知下列函数：①f（x）=2sin x；②f（x）=；③f（x）=1-2^x；④f（x）=，其中是“有界函数”的是     ．（写出所有满足要求的函数的序号）

14. 难度：中等

已知f（x）=是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有1，2，3，4，5，6．每次实验投两次，两次朝上的点数和为偶数的概率是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2^2x-1-2^x-4，
（1）求f（x）的零点；
（2）求f（x）的值域．

17. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

18. 难度：中等

已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x-1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的单调递减区间是（-1，3），且在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0，求函数f（x）的解析式．

20. 难度：中等

A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
（1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
（2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）