2011年广东省广州七中高三考前热身数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z=（1+ai）（1-i）对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，+∞）
B．（-∞，1）
C．（-1，1）
D．（-1，0）

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+1≥0
B．∃x∈R，x²-2x+1＞0
C．∀x∈R，x²-2x+1≥0
D．∀x∈R，x²-2x+1＜0

3. 难度：中等

若等差数列{a_n}满足a₂+S₃=4，a₃+S₅=12，则a₄+S₇的值是（ ）
A．20
B．36
C．24
D．72

4. 难度：中等

函数y=2cos²x-1是（ ）
A．最小正周期为的π奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

5. 难度：中等

一个空间几何体的正视图，侧视图如图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（ ）

A．6cm²
B．8cm²
C．10cm²
D．20cm²

6. 难度：中等

曲线y=2x-x³在x=-1处的切线为L，则点P（4，-2）到直线L的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD⊥BC于D，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）
A．
B．
C．1或-5
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为    ．

10. 难度：中等

过抛物线的焦点且平行于直线3x-2y=0的直线l的方程是    ．

11. 难度：中等

定积分=    ．

12. 难度：中等

阅读如图2所示的程序框图，若输出y的值为0，则输入x的值为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=|x-1|+|x+2|最小值为    ．f（x）=|x-1|+|x+2|+|x-4|的最小值为    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是     ，它与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是     ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，O是极点，设点，，则O点到AB所在直线的距离是    ．

16. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD=    ，线段FD的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

18. 难度：中等

某项实验研究需要一种高标准的产品，对这种产品要检测A、B两项技术指标，各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p₁、p₂，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？

19. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i-1＜t＜i表示第1月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．

22. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²，求数列 {b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，证明：不等式T_n+1≤4T_n对任意n∈N^*均成立．