2010年湖南省长沙市长郡中学高三5月模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=}，B={y|y=2^x，x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|1＜x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|x≥0}
D．{x|x＞1}

2. 难度：中等

已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．α∥β，m⊥α，则m⊥β
B．m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．n∥α，n⊥β，则α⊥β
D．m∥β，m⊥n，则n⊥β

3. 难度：中等

羊娃是第16届广州亚运会吉祥物，每组羊娃都由“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”和“乐羊羊”这五只羊组成，现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者，则甲或乙得到“阿祥”、丙不得“乐羊羊“的方法种数为（ ）
A．24
B．36
C．48
D．54

4. 难度：中等

已知平面区域Ω={（x，y）|x²+y²≤1}，M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若在区域Ω上随机扔一个点P，则点P落在区域M的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设有算法如图：如果输入A=2010，B=99，则输出的结果是（ ）

A．0
B．3
C．6
D．9

6. 难度：中等

若二项式的展开式中的常数项为-20π³（π为无理数），则∫^asinxdx=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

7. 难度：中等

给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，2^x≤0”的否定是“∀x∈R，2^x＞0”；
②给出四个函数y=x^-1，y=x，y=x²，y=x³，则在R上是增函数的函数有3个；
③已知a，b∈R，则“等式|a+b|=|a|+|b|成立”的充要条件是“ab≥0”；
④若复数z=（m²+2m-3）+（m-1）i是纯虚数，则实数m的值为-3或1．
其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（ ）
A．4900
B．4901
C．5000
D．5001

二、填空题

9. 难度：中等

为了调制一种饮料，在每10kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500g到1500g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在    g．

10. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=2，PA=8，则cos∠ACB的值为     ．

11. 难度：中等

正三棱柱的底面边长为2cm，高为2cm，则它的外接球的表面积为     cm²．（结果保留π）

12. 难度：中等

若曲线C₁：θ=（ρ∈R）与曲线C₂：（θ为参数，a为常数，a＞0）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为     ．

13. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=    ；
（2）定义f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值是     ．

15. 难度：中等

调查某小区内30户居民月人均收入情况，制成如下的频数分布直方图，收入在1200～1240元的频数是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，定义．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜π）为偶函数，求θ的值．

17. 难度：中等

“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆•贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆•贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆•贵宾厅”的概率均为，陶艺入选“中国馆•贵宾厅”的概率为．
（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆•贵宾厅”的概率；
（2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆•贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

19. 难度：中等

张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值-投入）

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，点在直线y=2x+1上，数列{b_n}满足
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求证：

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x，y）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．