2011年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，集合B={0，1，3}，则（ ）
A．A∪（C_UB）=U
B．（C_UA）∩B=∅
C．（C_UA）∪（C_UB）=U
D．（C_UA）∩（C_UB）=∅

2. 难度：中等

定义运算，则符合条件=0的复数z的共轭复数 对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=-2010，，则a₂=（ ）
A．-2008
B．-2012
C．2008
D．2012

4. 难度：中等

已知两条直线l₁：（m+3）x+4y+3m-5=0，l₂：2x+（m+5）y-8=0，l₁∥l₂，则直线l₁的一个方向向量是（ ）
A．（1，-）
B．（-1，-1）
C．（1，-1）
D．（-1，-）

5. 难度：中等

若x，y∈R，则“log2（xy+4x-2y）=3”是“x²+y²-6x+8y+25=0”成立的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

6. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

7. 难度：中等

若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（ ）
A．60
B．54
C．48
D．42

9. 难度：中等

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起得到三棱锥C-ABD，且三棱锥的体积为，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：的最大值为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4

11. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知双曲线-=1的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（ ）
A．|OB|=e|OA|
B．|OA|=e|OB|
C．|OB|=|OA|
D．|OA|与|OB|关系不确定

二、填空题

13. 难度：中等

已知=    ．

14. 难度：中等

直线与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则=    ．

15. 难度：中等

对于函数f（x）=+（3-a）|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=5，AB=6，AD=8．该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l；（2）C∈α，则C₁、O两点间的最大距离为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知O为坐标原点，其中x∈R，a为常数，
设函数
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式和对称轴方程；
（Ⅱ）若角C为△ABC的三个内角中的最大角，且y=f（C）的最小值为0，求a的值．

18. 难度：中等

某校高三某班在一次体育课内进行定点投篮赛，A、B为两个定点投篮位置，在A处投中一球得2分，在B处投中一球得3分．学生甲在A和B处投中的概率分别是和，且在A、B两处投中与否相互独立．
（1）若学生甲最多有2次投篮机会，其规则是：按先A后B的次序投篮．只有首先在A处投中后才能到B处进行第二次投篮．否则中止投篮，试求他投篮所得积分ξ的分布列和期望Eξ；
（2）若学生甲有5次投篮机会，其规则是：投篮点自由选择，共投篮5次，投满5次后中止投篮，求投满5次时的积分为9分的概率．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

20. 难度：中等

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数 b的取值集合，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=．
（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交x轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2，（n∈N^*），
求证：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）；
（Ⅲ）求证：．