2010年哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{-2，-1，0，1，2，3，4}
C．{1，2}
D．{2，3，4}

2. 难度：中等

在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（ ）
A．72
B．68
C．54
D．90

4. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则-p为：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
B．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件

5. 难度：中等

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）

A．y=0.85
B．y=50×0.53+（x-50）×0.85
C．y=0.53
D．y=50×0.53+0.85

6. 难度：中等

已知，，，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．-4
B．4
C．-2
D．2

7. 难度：中等

甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x_甲，x_乙，则下列正确的是（ ）

A．x_甲＞x_乙；乙比甲成绩稳定
B．x_甲＞x_乙；甲比乙成绩稳定
C．x_甲＜x_乙；乙比甲成绩稳定
D．x_甲＜x_乙；甲比乙成绩稳定

8. 难度：中等

设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，则α∥β
C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
D．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

9. 难度：中等

函数y=的图象如图，则（ ）
A．k=，ω=，φ=
B．k=，ω=，φ=
C．k=-，ω=2，φ=
D．k=-2，ω=2，φ=

10. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得=4a₁，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

11. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂＜2的任意x₁、x₂，给出下列结论：
（1）（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；    （2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；        （4），
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（3）（4）
D．（2）（4）

12. 难度：中等

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则的最小值是（ ）
A．12
B．10
C．6
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

若    ．

14. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为M，x²+y²≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

（1）由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比，若“为三个向量，则”
（2）在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=2a_n+2，猜想a_n=2ⁿ-2
（3）在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积”
（4）已知（2-x）⁸=a+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，则a₁+a₂+…+a₈=256
上述四个推理中，得出的结论正确的是    （写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

18. 难度：中等

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，
甲运动员

乙运动员

若将频率视为概率，回答下列问题，
（1）求甲运动员击中10环的概率
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

20. 难度：中等

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若且关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*用数学归纳法证明：a_n≤2ⁿ-1

22. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．