2010年河南省郑州外国语学校高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={m|m＞1}，集合B={0，1，2，3，4}，且满足B∪C=B，A∩C={2，3}，则符合条件的集合C的个数有（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

2. 难度：中等

已知复数a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足a+bi=（1-i）¹⁰+（1+i）¹⁰，则（ ）
A．a=0，b=0
B．a=0，b≠0
C．a≠0，b=0
D．a≠0，b≠0

3. 难度：中等

若函数f（x²-1）的定义域为[-1，2]，那么函数中的x的取值范围是（ ）
A．[-1，3]
B．[0，]
C．[0，3]
D．[0，9]

4. 难度：中等

已知，都是整数，且满足（+）（+3）=105，（+）•（+3）=39，则和的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

已知△ABC的两个顶点A（-5，0），B（5，0），△ABC的第三个顶点在一条双曲线（y≠0）上，则△ABC的内心的轨迹所在图象为（ ）
A．两条直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

6. 难度：中等

已知a为参数，函数是偶函数，则a可取值的集合是（ ）
A．{0，5}
B．{-2，5}
C．{-5，2}
D．{1，2009}

7. 难度：中等

设，，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

8. 难度：中等

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA₁和CC₁上，AP=C₁Q，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知arctan1+arctan2+arctanx=π，则x的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则z=（x+4）²+（y-4）²的最大值和最小值分别为（ ）
A．36+16，32
B．4+2，4
C．36+16，4
D．36+16，36

11. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6中选出不同的三个数，分别替换直线方程ax+by+c=0中的a，b，c使该直线与圆x²+y²=1相离，这样的直线有（ ）
A．36条
B．34条
C．18条
D．17条

12. 难度：中等

观察数列：7，7¹，7+7¹，7²，7²+7，7²+7¹，7²+7¹+7…由此递推数列的第100项是（ ）
A．7⁶+7⁵+7²
B．7⁶+7⁴+7²
C．7⁶+7³+7²
D．7⁶+7²+7¹

二、填空题

13. 难度：中等

已知m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲线为一个椭圆，则m的取值范围是     ．

14. 难度：中等

甲，乙，丙，丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站位方法有    种（用数字作答）．

15. 难度：中等

若不等式的解集为区间[a，b]，且b-a=1，则k取值的集合是    ．

16. 难度：中等

已知f（x+1）是偶函数，则y=f（2x）的图象的对称轴是直线    ．

三、解答题

17. 难度：中等

请选做一题，都做时按先做的题判分，都做不加分．
（1）已知向量，，函数．
①求函数f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若且a²=bc，试判断△ABC的形状．
（2）已知锐角．
①求证：tanA=2tanB；
②设AB=3，求AB边上的高CD的长．

18. 难度：中等

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

19. 难度：中等

高考数学考试中共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题给出的上个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项错误的，有一道题可能判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的概率最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

20. 难度：中等

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，判断函数f（x）只有的零点个数．

21. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xoy中，向量，且．
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程．

22. 难度：中等

已知f（x）=x²+2x，数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=f′（a_n）-n-1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=f（b_n）．
（1）求证：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）令，求证：；
（3）求证：