2011年广东省华南师大附中高三临门一脚综合测试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x-y=4}，那么M∩N为（ ）
A．x=3，y=-1
B．（3，-1）
C．{3，-1}
D．{（3，-1）}

2. 难度：中等

若复数（1-i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点x”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）

A．定
B．有
C．收
D．获

5. 难度：中等

如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

O为平面内的动点，A、B、C是平面内不共线的三点，满足+=λ≠，则点O轨迹必过△ABC的（ ）
A．垂心
B．外心
C．重心
D．内心

8. 难度：中等

如图，该程序运行后输出的结果为（ ）

A．5
B．6
C．9
D．10

9. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

10. 难度：中等

图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为    ．

12. 难度：中等

已知向量，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是     ．

13. 难度：中等

已知2+=2²×，3+=3³×，4+=4⁴×，…，若8+=8⁸×（a、b为正整数），则a+b=    ．

14. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，圆M的参数方程为（θ为参数），则圆M上的点到直线l的最短距离为    ．

15. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=3DB，设∠COD=θ，则，tanθ=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形，记∠AOC=α．
（1）求A点的坐标为（，），求的值；
（2）求|BC|的取值范围．

17. 难度：中等

如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．

18. 难度：中等

某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{a_n}，使得，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，（n∈N⁺），
（1）若抛掷4次，求S₄=2的概率；
（2）已知抛掷6次的基本事件总数是N=64，求前两次均出现正面且2≤S₆≤4的概率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为I，导数f′（x）满足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常数c₁为方程f（x）-x=0的实数根，常数c₂为方程f（x）-2x=0的实数根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c₁的实数根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x成立．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=（n∈N^*）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与数列{b_n}的前n项积分别记为S_n，T_n证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．