2011年黑龙江省哈尔滨九中高考数学四模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，，则A∩B中元素个数为（ ）
A．2
B．5
C．4
D．3

2. 难度：中等

若是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

3. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

4. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c-1），则c=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

6. 难度：中等

根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（ ）

A．36
B．37
C．38
D．39

7. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，若目标函数z=x-y的最小值的取值范围是[-2，1]，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-1，8]
B．[-1，6]
C．[5，8]
D．[7，10]

9. 难度：中等

在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，主视图、侧视图是斜边长为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设a，b分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数有5的条件下，方程x²+ax+b=0有实根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：

t		3	6	9	12	15	18	21	24
y	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A．17
B．16
C．5
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为     °．

14. 难度：中等

已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为    ．

15. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，，，则数列{a_n}的前5项之和的值为    ．

16. 难度：中等

将边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D．若，M，N分别为AC，BD的中点，则下列说法中正确的有   
①AC⊥MN   ②DM与平面ABC所成角为θ   ③线段MN的最大值是，最小值是    ④当时θ=时，BC与AD所成角等于．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=3x²-2x的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．

18. 难度：中等

某系统采用低息贷款的方式对所属企业给予扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企业，以下图表给出了有关数据（将频率看作概率）

评估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
评定类型	不合格	合格	良好	优秀
贷款金额（万元）		200	400	800

（1）任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率；
（2）对照标准，企业进行了整改，整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使所属企业获得贷款的平均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，，，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）设，当λ取何值时，二面角A-EF-C的大小为？

20. 难度：中等

已知动圆C过点A（-2，0），且与圆M：（x-2）²+y²=64相内切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx，x∈（1，2），
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，2）为增函数，在（0，1）上为减函数．
求证：方程f（x）=g（x）+2在（0，+∞）内有唯一解；
（3）当b＞-1时，若在x∈（0，1）内恒成立，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．