2010年湖南省长沙市浏阳一中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

tan（-990°）=（ ）
A．0
B．
C．
D．不存在

2. 难度：中等

在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为174cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

一几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，上下底边长分别为2和4，腰长为，俯视图为二个同心圆，则该几何体的体积为（ ）
A．14π
B．
C．
D．

4. 难度：中等

定义：适合条件a＞b的复数a+bi （a，b∈R）称为“实大复数”，若复数为“实大复数”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．[0，+∞）
D．（2，+∞）

5. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₃=1，数列{a_na_n+2}是以3为公比的等比数列，则log₃a₂₀₁₁等于（ ）
A．1003
B．1004
C．1005
D．1006

6. 难度：中等

某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A．2000
B．4096
C．5904
D．8320

7. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于点M、N，若=0，cos∠F₁MF₂=，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2+
D．

8. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈（-1，1]时f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，10]内零点的个数为（ ）
A．12
B．14
C．13
D．8

二、填空题

9. 难度：中等

已知随机变量X～N（2，σ²）（σ＞0），若X在（0，2）内取值的概率为0.3，则X在（4，+∞）内的概率为     ．

10. 难度：中等

当a=1，b=3时执行完如图这段程序后x的值是     ．

11. 难度：中等

一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是     ．

12. 难度：中等

已知函数的定义域是非零实数，且在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于    ．

13. 难度：中等

已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

14. 难度：中等

已知点O在△ABC内部，且满足，向△ABC内任抛一点M，则点M落在△AOB内的概率为    ．

15. 难度：中等

某资料室在计算机使用中，如表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为    ；编码100共出现    次．

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

17. 难度：中等

某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π． 
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

19. 难度：中等

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a，mln（b+1）万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设，是否存在斜率为k （k≠0）的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．