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2010年湖南省长沙市浏阳一中高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
tan(-990°)=( )
A.0
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.不存在
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2. 难度:中等
在一次运动员的选拔中,测得到7名选手身高(单位:cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为174cm,但有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为( )
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A.5
B.6
C.7
D.8
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3. 难度:中等
一几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,上下底边长分别为2和4,腰长为manfen5.com 满分网,俯视图为二个同心圆,则该几何体的体积为( )
A.14π
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4. 难度:中等
定义:适合条件a>b的复数a+bi (a,b∈R)称为“实大复数”,若复数manfen5.com 满分网为“实大复数”,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(2,+∞)
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5. 难度:中等
在数列{an}中,a3=1,数列{anan+2}是以3为公比的等比数列,则log3a2011等于( )
A.1003
B.1004
C.1005
D.1006
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6. 难度:中等
某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( )
A.2000
B.4096
C.5904
D.8320
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7. 难度:中等
设双曲线manfen5.com 满分网(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于点M、N,若manfen5.com 满分网=0,cos∠F1MF2=manfen5.com 满分网,则该双曲线的离心率为( )
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C.2+manfen5.com 满分网
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8. 难度:中等
若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈(-1,1]时f(x)=1-x2,函数g(x)=manfen5.com 满分网,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( )
A.12
B.14
C.13
D.8
二、填空题
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9. 难度:中等
已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.3,则X在(4,+∞)内的概率为    
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10. 难度:中等
当a=1,b=3时执行完如图这段程序后x的值是    
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11. 难度:中等
一组数据5,8,x,10,4的平均数是2x,则这组数据的方差是    
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12. 难度:中等
已知函数manfen5.com 满分网的定义域是非零实数,且在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的自然数a等于   
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13. 难度:中等
已知:A是以BC为直径的圆上的一点,BE是⊙O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的中点,延长AF,CB交于点P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若AF=3,BC=8,求AE的长.
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14. 难度:中等
已知点O在△ABC内部,且满足manfen5.com 满分网,向△ABC内任抛一点M,则点M落在△AOB内的概率为   
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15. 难度:中等
某资料室在计算机使用中,如表所示,编码以一定规则排列,且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式为    ;编码100共出现    次.
111111
123456
1357911
147101316
159131721
1611162126
三、解答题
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16. 难度:中等
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
(2)若f(x)=2f'(x),求manfen5.com 满分网的值.
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17. 难度:中等
某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.

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18. 难度:中等
如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面圆周上,点F在DE上,且AF⊥DE,若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π. 
(Ⅰ)求证:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A-BD-E的正弦值.

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19. 难度:中等
某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为manfen5.com 满分网a,mln(b+1)万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.
(1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;
(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?
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20. 难度:中等
在直角坐标系xOy中,椭圆C1manfen5.com 满分网的左、右焦点分别为F1、F2,其中右焦点F2也是拋物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设manfen5.com 满分网,是否存在斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C1交于A、B两点,且|AE|=|BE|?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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21. 难度:中等
已知函数manfen5.com 满分网,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值;
(Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(Ⅲ)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.
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