2010-2011学年湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式log₂≥1的解集为（ ）
A．（-∞，-1]
B．[-1，+∞）
C．[-1，0）
D．（-∞，-1]∪（0，+∞）

2. 难度：中等

在（-）⁵的展开式中的系数等于（ ）
A．-10
B．10
C．-20
D．20

3. 难度：中等

用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）

A．24
B．36
C．72
D．84

4. 难度：中等

a=-1是直线ax+（2a-1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的（ ）
A．充分不必要的条件
B．必要不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

定义A﹡B，B﹡C，C﹡D，D﹡A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（5）、（6）所对应的运算结果可能是（ ）

A．B*D，A*D
B．B*D，A*C
C．B*C，A*D
D．C*D，A*D

6. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒²的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车
B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距离最近为5米
D．人追不上汽车，其间距离最近为7米

8. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

的所有实数解之和为    ．

12. 难度：中等

在小时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2007时对应的指头是    ．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．

13. 难度：中等

要得到的图象，且使平移的距离最短，则需将y=sin2x的图象向左平移    个单位．

14. 难度：中等

过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），则椭圆的方程为    ．

15. 难度：中等

设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足，，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a²-（b-c）²和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）
（1）求sinA；
（2）求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；
（II）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（III）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，
PA=，E为PC的中点．
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=（x-1）²，直线g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
（n∈N^*）．（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

21. 难度：中等

已知a≠0且a∈R，函数的最小值为g（a）．
（1）求函数g（a）的表达式；
（2）求函数g（a）的值域；
（3）找出所有使成立的实数a．