2010年福建师大附中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x∈R|y=lgx}，N={y∈R|y=x²+1}集合M∩N=（ ）
A．（0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（-∞，+∞）
D．（0，1]

2. 难度：中等

若复数z=（x，y∈R，i为虚数单位）是实数，则x的值为（ ）
A．-3
B．3
C．0
D．

3. 难度：中等

“a=0”是“函数f（x）=x²+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，，若，则角C的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．84，4.84
B．84，1.6
C．85，4
D．85，1.6

6. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．直线l⊥平面α，平面β∥直线l，则α⊥β
B．平面α⊥β，直线m⊥β，则m∥α
C．直线l是平面α的一条斜线，且l⊂β，则α与β必不垂直
D．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行

7. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．15

8. 难度：中等

一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形．若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中（含起始位置和最终位置），其在水平桌面上正投影不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z
B．[6k-3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z
D．[6kπ-3，6kπ]，k∈Z

二、填空题

11. 难度：中等

（2x³-）⁷的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交双曲线于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=45°，则双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为    ．

14. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=    ．

15. 难度：中等

请阅读下列材料：对命题“若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么．”
证明如下：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，
又f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以．
根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你可以构造函数g（x）=    ，进一步能得到的结论为    ．（不必证明）

三、解答题

16. 难度：中等

已知，，函数f（x）=，
（Ⅰ）求时，函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a=，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

18. 难度：中等

某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．

19. 难度：中等

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-1使，方程有实根，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．