2010年湖北省襄阳市襄樊四中高考适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={2（m²+5m+6）+（m²-2m-5）i，1}，N={（1+i）²+i²⁰⁰⁹}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（ ）
A．-2或-3
B．-2或4
C．-2或5
D．-2

2. 难度：中等

直线y=x+3与曲线-+=1交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

若定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（）=2．那么不等式f（）＞2的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．（2，+∞）

4. 难度：中等

将函数f（x）=2sin（2x+）-3的图形按向量=（m，n）平移后得到函数g（x）的图形，满足g（-x）=g（+x）和g（-x）+g（x）=0，则向量的一个可能值是（ ）
A．（-，3）
B．（，3）
C．（-，-3）
D．（，-3）

5. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹n-2a_n，并且a₁=a₂₀₀₁，则a+a₂+A+a₂₀₀₀=（ ）
A．0
B．-
C．-
D．-

6. 难度：中等

设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f （ x ），那么f （ x ）的图象是
（

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将圆的中心到直线y=kx的距离记为d=f（k）给出下列判断
①数列{nf（n）}是递增数列
②数列{}的前n项和是
③[-]^-1=1
④＜
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③
D．①

9. 难度：中等

已知双曲线C₁：-=1的左准线l，左右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂，P是C₁与C₂的一个交点，则|PF₂|=（ ）
A．40
B．32
C．8
D．9

10. 难度：中等

△ABC中，AB=AC=2，BC边上有2010个不同点P_n，记a_n=2+•（n=1，2，A₂₀₁₀），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₀等于（ ）
A．2010
B．8040
C．4020
D．1005

二、填空题

11. 难度：中等

已知[1+（cos，sin）]³[1-（cos，sin）]⁴，求展开式中含（cos，sin）（cos，sin）的项并化简    ．

12. 难度：中等

从8名高二学生中安排6人在周六、周日两天参加社区服务，若每天安排3人，且甲、乙两人不能同去，则不同的安排方案共有    种（用数字作答）

13. 难度：中等

能够使得圆x²+y²-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=
①f（x）在（-∞，π）内连续，则a=   
②若①成立，则集合{x|f（f（x））=0}元素的个数有    ．

15. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有＞0则
（1）f（2009）=    ；
（2）若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=4sinx•sin²（+）+cos2x
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间[-，]上是增函数，求ω的取值范围．
（2）求{m||f（x）-m|＜2成立的条件是≤x≤，m∈R}．

17. 难度：中等

某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B₁、C₁
（1）求证B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小为arctan2，试求球O的表面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x²++，且存在x∈（0，），使f（x）=x．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：＜．

20. 难度：中等

已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，-2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足•=．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；
（Ⅱ）设x为f（x）的一个极值点，证明[f（x）]²=；
（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，
证明＜a_n+1-a_n＜π（n=1，2，…）．