2011年浙江省台州中学高三第四次统练数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x-1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C_UB）=（ ）
A．[1，2]
B．（1，2）
C．（1，2]
D．[1，2）

2. 难度：中等

复数（a+i）²对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a＜b”是使“cosA＞cosB”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在的展开式中，x⁶的系数是（ ）
A．-27C₁₀⁶
B．27C₁₀⁴
C．-9C₁₀⁶
D．9C₁₀⁴

5. 难度：中等

α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）
A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β
B．α内不共线的三点到β的距离相等
C．α，β都垂直于平面γ
D．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α

6. 难度：中等

设b，c，k是实数，二次函数f（x）=3x²+bx+c满足：f（k-1）与f（k）异号，f（k+1）与f（k）同号．在以下关于f（x）的零点的命题中，假命题的序号为（ ）
①该二次函数的两个零点之差一定大于2；
②该二次函数的零点都小于k；
③该二次函数的零点都大于k-1．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③

7. 难度：中等

在下图的程序框图中，已知f（x）=x•e^x，则输出的是（ ）

A．（x+2011）e^x
B．x•e^x
C．（1+2011x）e^x
D．2011（1+x）e^x

8. 难度：中等

公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a₁=1，a_n=51，则n+d的最小值等于（ ）
A．
B．16
C．
D．15

9. 难度：中等

已知P为双曲线=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，把排在a_i的左边且比a_i小的数的个数称为a_i的顺序数（i=1，2，，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为4，4的顺序数为2，且1、2必须相邻的不同排列的种数为（ ）
A．180
B．28
C．24
D．14

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin31°=a，则cos2011°=    ．（结果用a表示）

12. 难度：中等

已知圆x²+y²+x-6y=0和直线2x+3y-m=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，，点P为△BCD（含边界）内的一个动点，设，则x²+9y²的最小值等于    ．

15. 难度：中等

已知随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），当Dξ值最大时，P（η≥2）的值为    ．

16. 难度：中等

已知平面向量满足||=1，且与 的夹角为120°，则||的取值范围是    _．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=CP=1，且AC⊥BC，PC⊥面ABC，过P作截面分别交AC，BC于E、F，且二面角P-EF-C为60°，则三棱锥P-EFC体积的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，sinB），，cosA），且A，B，C分别为的三边a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N，求证{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和S₁₀₀＜100．

20. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在线段CC₁上是否存在一点E，使得直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设椭圆T：（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l与椭圆交于P、Q，当l与x轴垂直时，|PQ|=，F₂为椭圆的右焦点，M为椭圆T上任意一点，若△F₁MF₂面积的最大值为．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A、B两点，若|AB|∈（4，）），求△F₂PQ的面积S的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）|≤恒成立，求函数f（x）的表达式；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=m和x=n处取得极值，且a+b≤2．问：是否存在常数a、b，使得•=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．