2010年湖北省宜昌市夷陵中学高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={-1，0，1，2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则（∁_UA）∩B=（ ）
A．{0}
B．{2}
C．{0，1，2}
D．空集

2. 难度：中等

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，AB₁与底面ABCD成60°角，则A₁C₁到底面ABCD的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

函数的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AB=2，则=（ ）
A．4
B．-4
C．2
D．-8

5. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2（-2≤x＜0），其反函数为f^-1（x），则f^-1（3）=（ ）
A．-1
B．1
C．0或1
D．1或-1

6. 难度：中等

的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

7. 难度：中等

用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8
B．24
C．48
D．120

8. 难度：中等

若展开式中含的项是第8项，则展开式含的项是（ ）
A．第8项
B．第9项
C．第10项
D．第11项

9. 难度：中等

设A、B为双曲线-=1同一条渐近线上的两个不同的点，若|AB|=6，在向量m=（1，0）上的射影为3，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．2
B．
C．2或
D．2或

10. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b²．则函数f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）（x∈[-2，2]）的最大值等于（ ）
A．-1
B．1
C．6
D．12

二、填空题

11. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=    ．

12. 难度：中等

若x＞1，则x+的最小值为    ．

13. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出    人．

14. 难度：中等

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为    米．

15. 难度：中等

如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若=（1，-1），=，，试求的取值范围．

17. 难度：中等

要建造一个容积为2000m³，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m²，池底的造价为135元/m²，若水池底的一边长为xm，水池的总造价为y元．
（1）把水池总造价y表示为x的函数．
（2）当水池的长x为多少时，水池的总造价最少？

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，D、F分别为CC₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求异面直线BD与EF所成的角；
（3）求点F到平面ABD的距离．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＜0时，试求方程f（x）=0根的个数．

20. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（I）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设b_n=a_n-1，，求证：．