2010年吉林省实验中学高考数学八模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合A={x|y=}，B={y|y=-1}，则A∩B=（ ）
A．[0，+∝）
B．[1，+∞）
C．[-1，+∞）
D．[0，1]

3. 难度：中等

下列有关命题说法正确的是（ ）
A．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
B．命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”
C．三角形ABC的三内角为，则sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点

4. 难度：中等

已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：
①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
③若n，m为异面直线n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β．其中正确命题的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

5. 难度：中等

某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出P（Χ²≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（ ）
A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

6. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为（ ）m³．．
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

右图是把二进制数11111_（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞4
B．i≤4
C．i＞5
D．i＜=5

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a₁=1，公比q≠1，则a_n等于（ ）
A．2^1-n
B．2^2-n
C．2^n-1
D．2^n-2

9. 难度：中等

袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=2mx²-x-1在区间（-2，2）恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知直线y=k（x-3）与双曲线，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax²+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B²-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）
B．（1，9]
C．（1，2]
D．[2，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

设的展开式的常数项是    ．

14. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组则z=|x+2y-10|的最小值是    ．

15. 难度：中等

某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以    （米/秒）的速度匀速升旗．

16. 难度：中等

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]^′．
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值．
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；
（2）根据上面的频率分布表，在所给的坐标系中画出在区间[80，150]上的频率分布直方图；
（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体，成绩落在[100，120]中的个体数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

分组	频数	频率
[80，90）	①	②
[90，100）		0.050
[100，110）		0.200
[110，120）	36	0.300
[120，130）		0.275
[130，140）	12	③
[140，150）		0.050
合计	④

19. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FG；
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

20. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程以及点M的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点P的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60° 到OD．
（1）求线段PD的长；
（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为，
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|3x-2|+x
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，解不等式f（x）＞g（x）．